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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Limoges}}
\rfoot{\small{septembre 1969}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Limoges septembre 1969}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Soit l'expression
\[A(x) = 5\left(x^2 - 4\right) + x^2 - 4x + 4 + (6 - 3x)(x + 3).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $A(x)$ sous forme d'un polynôme réduit et ordonné par rapport aux puissances décroissante de $x$.
\item Écrire $A(x)$ sous forme de produit de facteurs du premier degré.
\item Résoudre les équations 
\begin{center}$A(x) = 0$ \qquad et\qquad $A(x) = 2$.\end{center}

\item Soit la fraction $F(x) = \dfrac{A(x)}{(3x - 1)(- x + 4)}$.

Pour quelles valeurs de $x$ cette fraction est-elle définie ?

La simplifier s'il y a lieu.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire dans un même système d'axe orthonormé (unité : le centimètre) les droites $(D)$ et $(D')$ ayant respectivement pour équation
\begin{center}$y = x - 2$\qquad  et\qquad  $y = - x + 4$.\end{center}
		\item Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $(D)$ et $(D')$, par le calcul, puis graphiquement.
		\item Montrer que les droites $(D)$ et $(D')$ sont perpendiculaires.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Soit un demi-cercle- de diamètre [BC] tel que BC $= 2R$ et un point A de l'arc $\wideparen{\text{BC}}$ tel que l'angle $\widehat{\text{ACB}}$ soit égal à $60\degres$.

Soit [AH] la hauteur relative au côté [BC] du triangle ABC.


\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer en fonction de $R$ les longueurs des segments [AB], [AC], [AH], [HC] et [HB].
\item On trace le cercle de centre A et de rayon AH et par B et C on mène les tangentes (BD) et (CE) à ce cercle.

Que représente (DE) pour le cercle ?

Montrer que le cercle (O) de diamètre [BC] est tangent en A à (DE).
\item Si $R = 3$~cm, déduire du 1. les longueurs des côtés du quadrilatère BDEC.
\item Montrer que les triangles DAB et ECA sont semblables et en déduire la relation 
\begin{center}BD $\cdot$ CE = AH$^2$.\end{center}
\item Quelle est la puissance des points B et C par rapport au cercle de centre A et de rayon AH ?
\end{enumerate}
\end{document}