\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Limoges septembre 1970},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Limoges}}
\rfoot{\small{septembre 1970}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Limoges septembre 1970~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser les expressions
\[\begin{array}{l c l}
A(x)&=& 4x^2 - 4\:\:\text{et}\\
B(x)&=& (11 - x)(x + 3) -22 + 2x
\end{array}\]
\item Soit la fraction $F(x) = \dfrac{A(x)}{B(x)}$.

Quel est le domaine de définition de $F(x)$ ?

Simplifier $F(x)$.

On désignera par $F'(x)$ la fraction simplifiée.
\item Résoudre les équations $F'(x) = 0$, puis $F'(x) = 1$.
\item Tracer dans un repère orthonormé les droites
$\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ d'équations respectives
\begin{center}$y= 4x - 4$\quad et \quad $y = - x + 11$.\end{center}
\item Déterminer graphiquement les coordonnées de leur point d'intersection, K.

Vérifier ces résultats par le calcul.
\item Quelle est l'équation de la droite $\left(D_3\right)$ perpendiculaire en K à (OK) ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans un demi-cercle de centre O, de diamètre [AB] on trace la corde [AC] égale au rayon.

La lettre H désigne le pied de la perpendiculaire menée de C sur (AB).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature de chacun des triangles AOC et ABC ?
\item Calculer, en fonction du rayon $R$ du demi-cercle, la longueur des segments [BC], [CH], [AH] et [BH].
\item La tangente en A au demi-cercle rencontre le prolongement de [BC] en D.

Démontrer la similitude des triangles ABC et DAC.

Préciser le rapport de similitude.

Calculer la longueur des segments [AD] et [DC] en fonction de $R$.
\item Calculer la puissance du point D par rapport au cercle de centre O.

Quelle longueur doit-on attribuer au rayon $R$ pour que cette puissance soit égale à 1 ?
\end{enumerate}
\end{document}