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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Limoges septembre 1972~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Factoriser les polynômes suivants :
\begin{enumerate}
\item $A(x) = 8x^2 - 40x +50$,
\item $B(x) = 12x^2 - 75$
\item $C(x) = 8x^2 - 40x + 50 +(2x - 5) (3x + 27) - \left(12x^2 - 75\right)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit 
\[F(x) = \dfrac{(x + 2)(2x- 5)}{3x^2 + 12x + 12}.\]

\smallskip

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition, $\mathcal{D}$, de $F$.
		\item Déterminer la fraction rationnelle $G(x)$, obtenue après simplification de $F(x)$.
		
Indiquer l'ensemble de définition, $\Delta$, de $G(x)$.
	\end{enumerate}
\item Résoudre, dans l'ensemble, $\,$ des nombres réels
chacune des équations suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item $G(x) = 0,4$,
		\item $G(x) = \dfrac45$,
		\item $G(x) = \dfrac23$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur numérique, $G\left(\sqrt 7\right)$, de $G(x)$
pour $x = \sqrt 7$.
		\item Indiquer si $G\left(\sqrt 7\right)$ est un nombre négatif ou positif.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On considère le demi-cercle de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$
et de centre O.

On trace la corde [AC] telle que $\widehat{\text{BAC}} = 30\degres$ 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, en fonction de $R$, les longueurs des côtés du triangle (ABC) et celle de sa hauteur [CH].
\item Dans le demi-plan de frontière (AB) contenant C, on trace en A la tangente A$x$ au demi-cercle, sur laquelle on porte AD $= 2$CH.

On mène (DC) et l'on trace dans le triangle (ADC) la hauteur [DK] relative à [AC].

Comparer les triangles (ADK) et (ACH).
\item Montrer que le triangle (ADC) est équilatéral.

Montrer que la droite (DK) passe par O.
\item Comparer les triangles (OAD) et (OCD).

En déduire que la droite (DC) est tangente au cercle de diamètre [AB).

Montrer que les quatre points A, D, C et O sont sur un même cercle, dont on déterminera le centre.
\end{enumerate}
\end{document}