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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Limoges septembre 1975~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\textbf{Algèbre}\end{center}

\smallskip

On donne les fonctions $f,\: g,\: h$ définies ainsi:
\[f :\begin{array}{l c l}
\R&\to&\R \\
x &\longmapsto &4x^2 - 9
\end{array},\quad 
g :\begin{array}{l c l}
\R&\to&\R \\
x &\longmapsto &(2x-3)(x + 7) - (2x - 3)
\end{array},\quad 
h :\begin{array}{l c l}
\R&\to&\R \\
x &\longmapsto &\dfrac{f(x)}{g(x)}
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $f(x)$ puis $g(x)$ sous forme de produits de facteurs du premier degré.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Simplifier la fonction $h$. Soit $j$ la fonction simplifiée.
		\item Préciser l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles $h(x) = j(x)$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer : $h\left(\dfrac32\right), \:  h\left(- \dfrac32\right), \: h\left(\sqrt 2\right), \: h(0)$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation
\[\dfrac{2x + 3}{x + 6} = 1.\]

On donnera
	\begin{enumerate}
		\item une résolution graphique
		\item une résolution par le calcul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Géométrie}\end{center}

Le plan est rapporté au repère orthonormé \Oij.

Les points A, B, C de ce plan sont définis par:

\begin{center}$\vect{\text{OA}} = 7\vect{\imath} - \vect{\jmath}, \quad \vect{\text{OB}} = \vect{\imath} + \vect{\jmath}, \quad\vect{\text{OC}} = 2\vect{\imath} + 4 \vect{\jmath}.$ \end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner les coordonnées de chacun des points A, B, C.
		\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}},\: \vect{\text{AC}}, \:\vect{\text{BC}}$.
		\item Calculer les distances: $d$(A,B),\: $d$(A,C),\: $d$(B,C).
		
Que pouvez-vous dire des droites (AB) et (BC) ?
	\end{enumerate}
\item Le point E est le symétrique du point C dans la symétrie centrale $S_{\text{B}}$ de centre B.

Trouver les coordonnées du point E.
\item Calculer $\cos \left(\widehat{\text{ACB}}\right)$.

En déduire, à l'aide d'une table trigonométrique, la valeur approchée, en degrés, de $\widehat{\text{ACB}}$, à 1 degré près par défaut.

Extrait d'une table numérique

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$a$&1&2&3&4&5&6&7\\ \hline
$\sqrt a$&1* &1,414& 1,732&2*&2,236& 2,449& 2,646\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

 Dans cette table, les valeurs exactes sont indiquées par *. Les autres valeurs
sont des valeurs approchées arrondies au troisième chiffre décimal.
\end{enumerate}
\end{document}