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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Limoges}
\lfoot{\small septembre 1977}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Limoges septembre 1977 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

On donne les fonctions suivantes:

\[f\left|\begin{array}{l c l}
\R	&\to&\R\\
x	&\longmapsto&f(x) = (x + 1)^2 - (3x - 4)^2.
\end{array}\right.\\
g\left|\begin{array}{l c l}
\R&\to&\R\\
x&\longmapsto&g(x) = 16x^2 - 9 - (4x - 3)(2x - 5)
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré. 
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$ et $g(x)$ suivant les puissances décroissantes de $x$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = g(x)$.
\item On considère la fonction rationnelle :
\[h\left|\begin{array}{l c l}
\R&\to&\R\\
x&\longmapsto&h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.
\end{array}\right.\]

	\begin{enumerate}
		\item Quel est l'ensemble de définition $\mathcal{D}$ de $h$ ?
		
Simplifier $h(x)$ dans cet ensemble.

On désignera par $q(x)$ l'expression simplifiée.
		\item Calculer $q\left(\dfrac12\right)$, et donner sa valeur approchée à $10^{-3}$ par défaut.
		\item Résoudre dans $\R, \:q(x) = 1$.
	\end{enumerate}
\item Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij{} (unité 1~cm), construire les droites $D_1$ et $D_2$ d'équations respectives :
\begin{center}$D_1  : \: 4x +2y - 10 = 0 \qquad D_2 :\: - 2x + y - 8 = 0$\end{center}

Calculer les coordonnées du point I, commun à $D_1$ et $D_2$.

Peut-on utiliser le graphique pour vérifier une des réponses du problème ?

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Ce problème sera illustré par un dessin.

On considère le plan $P$ muni d'un repère orthonormé \Oij{} (unité 1~cm).

On donne : 
\[\vect{\text{OB}}=- 3\vect{\imath} + 9\vect{\jmath}\:;\quad \vect{\text{OC}}=- 4\vect{\imath} + 3\vect{\jmath}\:;\quad \vect{\text{AC}}=- 7\vect{\imath} -  7\vect{\jmath}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées de A.
		\item Calculer les coordonnées du point D tel que CA, B, C, D) soit un parallélogramme.
	\end{enumerate}
\item Montrer que (A, B, C, D) est un losange.
\item Calculer les coordonnées de I, commun aux droites (AC) et (BD), puis celles de J, milieu de (A,D).
\item K est le symétrique de I par rapport à J.

Calculer les coordonnées de K.
\item Quelle est la nature du quadruplet (A, I, D, K).
\item Calculer $d$(K, A) et $d$(A, I).

$x$ désignant l'écart angulaire en degrés de l'angle géométrique $\widehat{\text{AIK}}$, déterminer la tangente de $x$.

À l'aide d'une table trigonométrique, déterminer un encadrement d'amplitude 1 pour $x$.
\end{enumerate}
\end{document}