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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Limoges}
\lfoot{\small septembre 1978}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Limoges septembre 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit la fonction polynôme $A$ de $\R$ dans $\R$ définie par : 
\[A(x) = 2(2x - 1)^2- (3 - 6x)(x - 1) + 4x^2- 1.\]

	\begin{enumerate}
		\item Réduire et ordonner $A(x)$.
		\item Mettre $A(x)$ sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré.
		\item Calculer $A(0), \:A\left(\dfrac12\right), \: A\left(1 + \sqrt 3\right)$.
	\end{enumerate}
\item Soit la fonction polynôme $B$ de $\R$ dans $\R$ définie par:
\[B(x) =(6 x - 5)^2 - (3 x + 1)^2.\]
	\begin{enumerate}
		\item Réduire et ordonner $B(x)$.
		\item Factoriser $B(x)$.
	\end{enumerate}
\item  Soit $F(x) = \dfrac{3A(x)}{B(x)}$.

Quel est le domaine de définition de $F(x)$ ?

Simplifier $F(x)$.

 
\item Soit $F'(x) = \dfrac{2x - 1}{x - 2}$.

Calculer $F'\left(\sqrt 2\right)$. Rendre rationnel son dénominateur.
\item Résoudre dans $\R$ les équations $F'(x) = 1$ puis $F'(x) = 2$.
6ème question:
\item Construire dans un même repère les droite 
\begin{description}
\item[ ] $D_1$ d'équation $y = 2 x - 1$ 
$D_2$ d'équation $y = x - 2$
03 d'équation $y = 2(x - 2)$
\end{description}
et retrouver à l'aide du graphique les résultats de la 5\up{e}e question.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

Dans le plan euclidien muni d'un repère orthonormé \Oij{} (unité 1~cm) on
considère les points 
\begin{center}A(- 5, - 5) , \qquad B( 2,-1) , \qquad C( 9, 2)\end{center}

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B, C.

Exprimer les vecteurs $\vect{\text{OA}},\: \vect{\text{OB}},\: \vect{\text{OC}},\:\vect{\text{AB}},\: \vect{\text{AC}},\:, \vect{\text{BC}}$ en fonction des vecteurs $\vect{\imath}$ et $\vect{\jmath}$.
\item Calculer les distances $d$(A,B), $d$(A,C), $d$(B,C) et en déduire la nature du triangle (A, B, C).
\item Déterminer les coordonnées de M milieu du bipoint (B, C) et l'équation de la médiatrice du côté [B, C] du triangle (A, B, C).
\item Déterminer les coordonnées de D tel que le quadruplet (A, C, B, D) soit un parallélogramme.
\item Soit le point E$\left(0~;~\dfrac53\right)$).

Démontrer que A, B, E sont alignés.
\item Soit N le centre du parallélogramme--(A, C, B, D) ; calculer la tangente de
 l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{BND}}$.
\end{enumerate}
\end{document}