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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Limoges}
\lfoot{\small septembre 1979}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Limoges septembre 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\bigskip

On considère l'application polynôme $f$, de $\R$ dans
$\R$, définie par
\[f(x) = x^2 - 6x + 9 + (2x - 6)(x + 2).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$ suivant les puissances décroissantes de x.
\item Écrire $f(x)$ sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré.
\item Calculer $f\left(-\dfrac13\right)$ et $f\left(\sqrt 2\right)$. 

Sachant que $1,414 < \sqrt 2 < 1,415$, peut-on donner l'approximation
décimale d'ordre 2 par excès de $f\left(\sqrt 2\right)$ ? 

Si non, pourquoi ? Si oui, quelle est sa valeur ?
\item Soit $h$ la fonction rationnelle, de $\R$ dans $\R$, définie par
\[h(x) = \dfrac{(x - 3)(2x - 1)}{3x^2 - 8x - 3}.\]

Déterminer son ensemble de définition $E$, puis pour $x$ appartenant à $E$ simplifier $h(x)$.
\item Résoudre, dans $E$, l'équation $\dfrac{2x - 1}{3x + 1} = 1$.
\item Dans le plan rapporté au repère orthonormé
\Oij{} :
	\begin{enumerate}
		\item Construire les droites $(D)$ et $(D')$ dont les
équations sont respectivement :
\[\begin{array}{l l}
y - 2x + 1 = 0& (\text{pour }\:D) ;\\
 3x +1- y = 0& (\text{pour }\:D').
 \end{array}\]

		\item Quelles sont les fonctions affines représentées respectivement par les droites $(D)$ et $(D')$ ?
		\item Déterminer graphiquement l'abscisse du point
d'intersection des droites $(D)$ et $(D')$.

Pouvait-on prévoir le résultat ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans le plan euclidien muni d'un repère orthonormé \Oij{} 
placer les points A, B et C définis par leurs coordonnées

\begin{center}A(1~;~3)\:;\qquad B(2~;~2)\:;\qquad  C(3~;~5).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées (ou composantes) de $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$.
\item Calculer $d$(A, B); $d$(A, C) ; $d$(B, C).
\item Montrer que les points A, B et C sont sur un même cercle dont le centre I a pour coordonnées $\left(\dfrac52~;~\dfrac72\right)$.

Calculer le rayon de ce cercle.
\item Déterminer les coordonnées du point D pour que (A, B, D, C) soit un rectangle.
\item Montrer que B est le milieu de (O, D) et que (AB) est la médiatrice du segment [OD].
\item Montrer que (IB) et (OA) sont parallèles et déterminer une équation de la droite (BC).
\item Montrer que (A, C, B, O) est un parallélogramme.
\end{enumerate}
\medskip

\textsc{REMARQUE}: $d$(A, B) est la distance des deux points A et B.
\end{document}