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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Limoges}
\lfoot{\small septembre 1980}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Limoges septembre 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\medskip

On donne, dans $\R$, les applications $f$ et $g$ définies par 
\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&2x^2 - 12x + 18 - (3x - 9)(4x + 5)+ x^2 - 9\\
g(x) &=&3(x + 2)^2.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer $g(x)$.
\item Factoriser $f(x)$.
\item On pose $h = \dfrac{f}{g}$. Préciser l'ensemble de définition
de $h$ et simplifier $h(x)$.
\item Résoudre, dans $\R$ les équations:
\[f(x) = 0\:;\qquad g(x) = 12 \:;\qquad h(x) = 1.\]
$f$ et $g$ sont-elles des bijections ?
\item On considère les applications :
\[\begin{array}{l l c l l l c l}
k :&\R&\to&\R &p :&\R&\to&\R\\
&x& \longmapsto & - 3x +9\:;& &x& \longmapsto &x + 2.
\end{array}\]

Construire leurs représentations graphiques $K$ et $P$ dans un repère orthonormé. 

Calculer les coordonnées du point d'intersection des représentations graphiques
$K$ et $P$. Quel résultat vérifie-t-on ? 

Écrire une équation de la droite $(D)$ orthogonale à $P$ et contenant le point A(1~;~8).

Tracer cette droite dans le repère précédent.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

Dans le plan euclidien rapporté au repère orthonormé \Oij{} (unité 1~cm) placer les points A, B, C et E tels que :
\[\vect{\text{OA}} = \vect{\imath} - \vect{\jmath}\:;\quad \vect{\text{OB}} = 2\vect{\imath} +3 \vect{\jmath}\:;\quad\vect{\text{OC}} = - 3\vect{\imath} - 2\vect{\jmath}\:;\quad\vect{\text{OE}} =  \vect{\jmath}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point M milieu du bipoint (B. C).
		\item Déterminer les coordonnées du point D symétrique du point A par rapport au point M.
	\end{enumerate}
\item  Exprimer le vecteur $\vect{\text{BC}}$ en fonction des vecteurs $\vect{\imath}$
et $\vect{\jmath}$. 

Montrer que les points B,  C et E sont alignés.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la distance $d$(A, B).
		\item Montrer que le point A appartient à la médiatrice
du segment [BC].
	\end{enumerate}
\item  Quelle est la nature du quadruplet (A, B, D, C) ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip 

Soit un triangle (A, B, C) rectangle en B tel que, l'unité étant le centimètre,
\begin{center}$d$(B, C) = 4 et $d$(A, C) = 12.\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer la distance $d$(A, B).
\item Soit $\alpha$ l'écart angulaire en degrés de l'angle géométrique $\widehat{\text{BCA}}$. 

Déterminer $\cos \alpha$. 

En déduire, à l'aide d'une table trigonométrique, la valeur approchée à un degré près par défaut de $\alpha$.
\end{enumerate}
\end{document}