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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1986}
\rfoot{\small Limoges}
\lfoot{\small septembre 1986}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Limoges septembre 1986 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit les applications $f$ et $g$ définies dans $\R$ par

\[f(x) = 2x + 1,\qquad g(x) = - 3x -\dfrac12.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer dans un même repère orthonormé (l'unité de longueur étant le centimètre) les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$.
		\item Résoudre dans $\R \times \R$ le système

\[\left\{\begin{array}{l c l}
-2x + y - 1 &=& 0\\
6x + 2y + 1 &=&0.
\end{array}\right.\]

		\item À l'aide des représentations graphiques retrouver la solution du système du 2.
	\end{enumerate}	
\item Résoudre dans $\R$

\[2x + 1 < - 3x - \dfrac12.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Activités géométriques}

\medskip

Dans le plan $P$ rapporté à un repère orthonormé \Oij{}
placer les points 

\begin{center}A(2~;~5),\quad B(7~;~0),\quad C$(-5~;~4)$.\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit I le milieu du segment [BC]. Calculer les coordonnées du point I.
		\item Soit D le symétrique de A par rapport à I. Calculer les coordonnées du point D.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le triangle (ABC) est isocèle.
		\item Quelle est la nature du quadrilatère (ABDC)?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Soit les fonctions $f$ et $g$ définies dans $\R$ par 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
f(x)&=&(2x-1)^2 - 9(x +1)^2,\\
g(x)&=&3(x + 4)(1 - x).
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Développer puis réduire $f(x)$ et $g(x)$.
		\item Calculer $f(0),\: f\left(- \sqrt 2\right),\: g(- 4),\: g\left(1 - \sqrt 2\right)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Factoriser $f(x)$. En déduire les solutions de l'équation $f(x) = 0$.
		\item Résoudre $g(x) = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}