\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
%\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Montpellier septembre 1976},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1976}
\rfoot{\small Montpellier}
\lfoot{\small septembre 1976}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Montpellier septembre 1976 \decofourright}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

Dans $\R$, on considère les fonctions $f$ et $g$ dont voici les définitions
\[f :\left\{\begin{array}{l c l}
\R&\to \R,\\
x&\longmapsto&f(x) = (3 - 2x)(2x + 1) - (2x - 3)(x + 2) ;
\end{array}\right.\]
\[g :\left\{\begin{array}{l c l}
\R&\to \R,\\
x&\longmapsto&g(x) = (x + 1)(4x + 5) - (x + 1)\left(\dfrac52 x + 8\right)
\end{array}\right.\]
\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous forme de produits de facteurs du premier degré.
\item Définir en extension les ensembles suivants :
\[\begin{array}{l c l}
S_1&= & \left\{x | x \in  \Q,\:f(x) = 0\right\},\\
S_2& = & \left\{x | x \in \Z,\: f(x) = 0\right\}, \\
S_3& = & \left\{x | x \in \Z,\: g(x) = 0\right\},\\
S_4& = & \left\{x | x \in \N,\: g(x) = 0\right\}.
\end{array}\]

\item Soit $h$, la fonction définie par 
\[h: \left\{\begin{array}{l c l}
\R&\to&\R,\\
x &\longmapsto& h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}
\end{array}\right.\]

Quel est le domaine de définition de $h$ ?

Soit $h'(x)$ l'expression de $h(x)$ simplifiée ; pour quelles valeurs de $x$,\: $h'(x)$ est-elle
	\begin{enumerate}
		\item nulle ?;
		\item égale à 1 ? ?
	\end{enumerate}
\item Dans un repère orthonormé du plan, représenter
les droites d'équations
\begin{center}$y_1 = -2x + 3$ \quad et \quad $y_2 = \dfrac12 x - 1$.\end{center}

Calculer les coordonnées du point d'intersection de ces droites.

Retrouver les résultats des  questions 3. a. et 3.b.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center}

Dans le plan $(\Pi)$ muni d'un repère orthonormé
\Oij, placer les points A. B et M définis par leurs coordonnées
\begin{center}A$(- 6~;~- 1)$,\quad B$(- 5~;~7)$\quad  et\quad M$(- 2~;~1)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $d$(A. B); $d$(B, M) et $d$(A, M).

En déduire que le triangle ABM est rectangle.
\item On considère le point C symétrique de A par rapport à M et le point D symétrique de B par rapport à M.

Calculer les coordonnées de C et de D.
\item Quelle est la nature du quadruplet (A, B, C, D) ?
\item Soit $\alpha$ l'écart en degrés, de l'angle géométrique
$\widehat{\text{ABM}}$.

Calculer $\tan \alpha$.

À l'aide d'une table trigonométrique déterminer un encadrement d'amplitude 1 pour $\alpha$.
\end{enumerate}
\end{document}