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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small juin 1996}
\lfoot{\small Limoges}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Limoges juin 1996 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne l'expression : $A = (x-2)^2 -(x-2)(5x+1).$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $A$.
\item Factoriser $A$.
\item Calculer $A$ pour $x = \sqrt 3$.
\item Résoudre l'équation : $(x - 2)(- 4x- 3) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
ABCD est un carré de $60$~m de côté.

%fig

\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ l'aire du rectangle AEFG.
\item Trouver $x$ pour que l'aire du rectangle AEFG soit égale au quart de l'aire du carré ABCD.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.6,4)
%\psgrid
\psframe(0.5,0.6)(3.5,3.6)%DCBA
\psframe(0.5,3.6)(2.5,1.6)%AEFG
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0.5,0.4)(3.5,0.4)\uput[d](2,0.4){60 m}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0.3,0.6)(0.3,1.6)\uput[l](0.3,1.1){$x$}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(3.7,0.6)(3.7,3.6)\uput[r](3.7,2.05){60 m}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0.5,3.8)(2.5,3.8)\uput[u](1.5,3.8){40 m}
\uput[ul](0.5,3.6){A} \uput[ur](3.5,3.6){B} \uput[dr](3.5,0.6){C} \uput[dl](0.5,0.6){D} 
\uput[ur](2.5,3.6){E} \uput[dr](2.5,1.6){F} \uput[ul](0.5,1.6){G}
\end{pspicture}

\end{minipage}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

C'est la période des soldes :

\medskip

\begin{enumerate}
\item J'achète un pull dont le prix est $460$ F ; combien vais-je payer ce pull sachant qu'à la caisse on me fera une remise de 20\,\% ?
\item J'achète aussi une chemise que je paie $360$ F ; quel était le prix de la chemise avant la réduction de 20\,\% ?
\end{enumerate}

%\begin{enumerate}
%\item 
%\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Activités géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip


\begin{minipage}{0.65\linewidth}

\begin{enumerate}
\item Reproduire ce dessin en vraie grandeur sachant que OA = 3 cm et que les points A, O et C, d'une part, et les points B, O et D, d'autre part, sont alignés.
\item Démontrer que ABCD est un rectangle.
\item Placer, sur le dessin, le point E image du point O par la translation de
vecteur $\vect{\text{BA}}$.
\item Placer le point F image du point C par la rotation de centre O et d'angle $60\degres$ dans le sens de la flèche.
\item Montrer que les points A, B, C, D, E, F sont sur un même cercle que l'on précisera.
\item Écrire un vecteur égal au vecteur $\vect{\text{CB}} + \vect{\text{CD}}$.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.25\linewidth}
\psset{unit=1.15cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(-1.2,-2)(1.6,2.6)
%\psgrid
\pspolygon(-1,-1.5)(1,1.5)(-1,1.5)(1,-1.5)%DBAC
\uput[l](-1,1.5){A} \uput[r](1,1.5){B} \uput[r](1,-1.5){C} \uput[l](-1,-1.5){D}
\uput[r](0,0){O}\psdots(-0.5,-0.75)(0.5,-0.75)(-0.5,0.75)(0.5,0.75)(0,1.5)(0,-1.5)
\psarc{->}(0,0){2}{70}{110}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.

Soit un demi-cercle $(C)$ de diamètre [AB] tel que AB $= 12$.

Soit O le milieu de [AB] et H le milieu de [AD].

La perpendiculaire en H à (AB) coupe $(C)$ en M.

\begin{center}
\psset{unit=1.15cm}
\begin{pspicture}(-3.2,-0.5)(3.2,3.4)
\psarc(0,0){3}{0}{180}
\psline(-1.5,0)(-1.5,2.6)
\psline(-3,0)(-1.5,2.6)(3,0)(-3,0)%AMB
\psline(0,0)(0,3.4)%ON
\psframe(-1.5,0)(-1.3,0.2)
\uput[l](-3,0){A} \uput[r](3,0){B} \uput[d](-1.5,0){H} \uput[u](-1.5,2.6){M}
\uput[ur](0,0){O} \uput[ur](0,1.73){N} \uput[ur](2,2.22){$(C)$}
\psline(-2.35,-0.1)(-2.15,0.1)\psline(-0.85,-0.1)(-0.65,0.1)
%\psgrid
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle AMO ? En déduire la longueur AM puis la longueur MH. (Donner des valeurs exactes.)
\item Quelle est la nature du triangle AMB ? En déduire la longueur exacte de MB.
\item Calculer $\sin \widehat{\text{ABM}}$. En déduire une mesure de l'angle $\widehat{\text{ABM}}$.

Établir ce résultat d'une autre façon.
\item La médiatrice de [AB] coupe (MB) en N. Calculer les valeurs exactes de NB et ON.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Questions enchaînées }

\medskip

Soit un repère orthonormal (O, I, J).

L’unité de longueur est le centimètre.

On considère les points : A(3~;~5) ;\quad B(6~;~6) ;\quad  C(7~;~3).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B, C. 

Calculer les longueurs AB, BC et AC.
\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B et isocèle.
\item Montrer que le coefficient directeur de la droite (BC) est $(- 3)$.
\item En déduire que l'équation de la droite $(d)$ passant par A et parallèle à la droite (BC) est $y=-3x+14$.

Tracer $(d)$.
\item On considère la droite $(d')$ d'équation : $y = 13 x + 23$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $(d')$ passe par C. Tracer $(d’)$.
		\item Montrer que $(d')$ est perpendiculaire à la droite (BC).
	\end{enumerate}
\item Trouver les coordonnées du point D intersection des droites $(d)$ et $(d')$.
\item Démontrer que le quadrilatère ABCD est un carré.
\end{enumerate}
\end{document}