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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1998}
\rfoot{\small Limoges}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Limoges juin 1998 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne l'expression $E=(3x - 2)^2 - (3x - 2)(2x - 3)$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Calculer $E$ pour $x = 23$.
\item Résoudre l'équation $(3 x - 2)(x + 1) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère deux nombres $C$ et $D$ 

\[ C = 3\sqrt{12} + \sqrt{27}, \qquad  D = \left(2\sqrt{3} - 3\right)^2\]

Écrire $C$ sous la forme $a\sqrt b$, où $a$ et $b$ sont des entiers, $b$ étant le plus
petit possible.

Écrire $D$ sous la forme $p + q\sqrt3$, où $p$ et $q$ sont des entiers.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Le périmètre d'un rectangle de longueur $x$ et de largeur $y$ est 140 mm.

En doublant la largeur initiale et en retranchant 7 mm à la longueur initiale, on obtient un nouveau rectangle dont le périmètre est égal à 176 mm.

Quelles sont les dimensions $x$ et $y$ du rectangle initial ?

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Dans un collège, il y a $575$ élèves. Une enquête a permis d'obtenir les renseignements suivants :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]8\,\% des élèves viennent au collège en voiture ;
\item[$\bullet~~$]92 élèves viennent à pied ;
\item[$\bullet~~$]5 des élèves viennent à vélo ;
\item[$\bullet~~$]les autres élèves viennent en autobus.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Combien d'élèves viennent en voiture ?
\item Calculer le pourcentage d'élèves qui viennent : 
	\begin{enumerate}
		\item à vélo ;
		\item à pied ;
		\item en autobus.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Un fabricant d'enseignes lumineuses doit réaliser la lettre z (en tubes de verre soudés) pour la fixer sur le haut d'une vitrine. Voici le schéma donnant la forme et certaines dimensions de l'enseigne :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,6.5)
%\psgrid
\pspolygon(0.5,0.5)(6.7,0.5)(2.9,5.2)(6.3,5.2)%CDAB
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0.5,0.3)(6.7,0.3)\uput[d](3.6,0.3){15 dm}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0.4,0.7)(4.1,3.7)\uput[u](2.4,2.2){12 dm}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(2.7,5.1)(4.07,3.35)\uput[d](3.4,4.5){5 dm}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(4.5,3.7)(6.9,0.7)\uput[u](5.85,2.4){9 dm}
\uput[ul](2.9,5.2){A} \uput[ur](6.3,5.2){B} \uput[dl](0.5,0.5){C} \uput[dr](6.7,0.5){D} 
\uput[u](4.25,3.55){O}
\end{pspicture}
\end{center}

Les droites (AD) et (BC) se coupent en O.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sachant que les droites (AB) et (CD) sont parallèles, calculer les longueurs AB et OB (donner les résultats sous forme fractionnaire).
\item Démontrer que le tube [BC] est perpendiculaire à la droite (AD).
\item Calculer $\sin \widehat{\text{OCD}}$.
\end{enumerate}

En déduire la valeur arrondie de l'angle $\widehat{\text{OCD}}$ à un degré prés.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

L'unité de longueur est le cm. On ne demande pas de reproduire le dessin sur la copie.

On donne un parallélépipède rectangle ABCDEFGH tel que :

\[\text{AB} = 4, \quad  \text{BC} = 3, \quad \text{AE} = 6\]

Un point S choisi sur l'arête [AE]permet de définir deux pyramides : 

\begin{itemize}
\item SABCD de sommet S, de hauteur SA, de volume $V_1$
\item SEFGH de sommet S, de hauteur SE, de volume $V_2$
\end{itemize}

%%fig
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,8.5)
\psframe(0.5,0.5)(4.8,6.6)%ABFE
\psline(4.8,0.5)(6.3,1.9)(6.3,8)(4.8,6.6)%BCGF
\psline(6.3,8)(2,8)(0.5,6.6)%GHE
\psline(4.8,6.6)(0.5,3.5)(4.8,0.5)%FSB
\psline(4.8,6.6)(2,8)%FH
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(2,1.9)(6.3,1.9)(0.5,3.5)(2,1.9)(2,8)(0.5,3.5)(6.3,8)%ADCSDHSG
\uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[dr](4.8,0.5){B} \uput[r](6.3,1.9){C}
\uput[dr](2,1.9){D} \uput[l](0.5,6.6){E} \uput[r](4.8,6.6){F}
\uput[ur](6.3,8){G} \uput[ul](2,8){H} \uput[l](0.5,3.5){S}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On suppose que AS $= 3$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les distances FH, SH et SF (donner les valeurs exactes).
		\item Démontrer que le triangle FHS est isocèle.
	\end{enumerate}
\item On suppose à présent que AS $= x\quad  (0 \leqslant x \leqslant 6$).
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer les volumes $V_1$ et $V_2$ en fonction de $x$.
		\item Comment choisir $x$ pour que $V_2 \geqslant V_1$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Dans un repère orthonormal (O, I, J) tel que OI = OJ = 1 cm, on considère les points :

\[\text{A}(5~;~- 3)\quad \text{B}(11~;~0)\quad  \text{C}(2~;~3)\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure.
\item Déterminer le coefficient directeur de la droite (AB).
\item Soit $(\Delta)$ la droite d'équation $y = -2 x + 7$.

Montrer que $(\Delta)$ est perpendiculaire à la droite (AB) et que $(\Delta)$ passe par les points A et C.
\item Calculer les valeurs exactes des distances AB et AC.

En déduire la nature du triangle ABC.
\item Soit K le projeté orthogonal du point C sur l'axe des abscisses. 

Prouver que les points A, B, C, K sont sur un même cercle. 

Calculer les coordonnées du point E, centre du cercle.

Calculer le rayon du cercle.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point D, image du point C dans la translation de
vecteur AB.
		\item Calculer les coordonnées du point D.
		\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}