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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small   L'année 1999}
\rfoot{\small Limoges}
\lfoot{\small juin 1999}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet  Limoges juin 1999 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Écrire le plus simplement possible :

\[A = \dfrac57 -  \dfrac{14}{25} \times \dfrac{15}{49} \quad ; \quad  B = (-2)^5 - 3^4\quad ; \quad  C = \dfrac{\dfrac34  + \dfrac13}{2 - \dfrac73}.\]

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire sous la forme $a\sqrt b$,\, $b$ entier le plus petit possible, les nombres $\sqrt{18}$ et $\sqrt{12}$.
\item Développer et simplifier $\left(10 + 4\sqrt6\right)\left(\sqrt3- \sqrt2\right)$.
\item Le tableau suivant est-il un tableau de proportionnalité ?

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$\sqrt3 + \sqrt2$&$10 + 4\sqrt6$\\ \hline
$\sqrt3 - \sqrt2$&$2$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'expression $D = (3x-1)^2-(x - 1)(9x + 6)$
	\begin{enumerate}
		\item Développer et réduire $D$.
		\item Résoudre l'inéquation $-3x+7\geqslant1$.
	\end{enumerate}
\item On considère l'expression : $E = (3x - 2)^2 - 9$.
	\begin{enumerate}
		\item Factoriser $E$.
		\item Résoudre l'équation : $(3x - 5)(3x + 1) = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système d'équations 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
5x+3y&=&180\\
\phantom{5}x + \phantom{3}y&=&40\\
\end{array}\right.\]

\item Simon a quarante livres, les uns ont une épaisseur de 5~cm,
les autres une épaisseur de 3~cm. S'il les range sur un même rayon,
ils occupent 1,80~m. 

Combien Simon a-t-il de livres de chaque catégorie ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\emph{La figure ci-dessous est donnée à titre d’exemple pour préciser le disposition des points, segments et droites. Elle n’est pas conforme aux mesures données.\\
L’unité de longueur est le centimètre.}


On donne :

AB = 7,5  ; BC = 9  ; AC = 6  ; AE = 4 ;  BF = 6.

Les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AD.
\item Les droites (EF) et (AB) sont-elles parallèles ? 

Calculer EF{}.
\end{enumerate}


\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(10,6.5)
%\psgrid
\psline(0,0)(10,0)\psline(2,6.2)(8,6.2)
\psline(2.7,0)(7,6.2)%BD
\uput[d](2.7,0){B}\uput[u](7,6.2){D}
\psline(7.5,0)(4.5,6.2)%CE
\uput[d](7.5,0){C}\uput[u](4.5,6.2){E}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0.4,0)\uput[d](0.4,0){F}
\uput[r](5.55,4.12){A}
\end{pspicture}
\end{center}
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

ABCDEFGH est un cube d'arête [AB] avec AB $=12$~cm. I est le
milieu du segment [AB]. J est le milieu du segment [AE]. K est
le milieu du segment [AD].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire du triangle AKI.
\item Quel est le volume de la pyramide JAIK, de base AIK ?
\item Quelle fraction du volume du cube représente le volume de la
pyramide JAIK ? Écrire le résultat sous forme d'une fraction de
numérateur 1.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,6.5)
%\psgrid
\psframe(4,4)%ABFE
\uput[l](0,4){A}\uput[r](4,4){B}\uput[dl](0,0){E}\uput[r](4,0){F}
\psline(4,0)(5.4,1.6)(5.4,5.6)(4,4)%FGCB
\uput[r](5.4,5.6){C}\uput[r](4,0){F}\uput[r](5.4,1.6){G}\uput[ul](1.4,5.6){D}
\psline(5.4,5.6)(1.4,5.6)(0,4)%CDA
\psline(0,2)(1.9,4)(0.8,4.9)%JIK
\uput[dr](0,2){J}\uput[ur](1.9,4){I}\uput[ul](0.8,4.9){K}
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dotted](0,2)(0.8,4.9)%JK
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dotted](0,0)(1.4,1.6)(1.4,5.6)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dotted](1.4,1.6)(5.4,1.6)
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J). L'unité de longueur est le centimètre.

On appelle A et B les points dont les coordonnées sont : A$(- 1~;~3)$ et B$(- 3~;~- 1)$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A et B dans le repère.
\item Soit (D) la droite d'équation $y = 2x + 5$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points A et B appartiennent à la droite (D).
		\item Tracer la droite (D).
	\end{enumerate}
\item On appelle M le milieu du segment [AB].
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du point M.
		\item Déterminer une équation de la droite (OM).
		\item Montrer que les droites (OM) et (AB) sont perpendiculaires.
	\end{enumerate}
\item Soit C le symétrique du point O par rapport au point M.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer, par le calcul, que les coordonnées de C sont $(-4~;~2)$.
		\item Calculer les distances OC et AB.
		\item En déduire la nature du quadrilatère AOBC. Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item Construire l'image du quadrilatère AOBC par la translation de
vecteur $\vect{\text{CO}}$.
\end{enumerate}
\end{document}