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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Lisbonne juin 1961~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre l'expression suivante sous forme d'un produit de facteurs :
\[A(x) = 3(x - 3)^2 - \left(x^2 - 9\right) + (3 - x) (x + 4).\]
Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $A(x) = 0$ ?
\item Construire la droite $\left(D_1\right)$ d'équation $y = \dfrac{A(x)}{x - 16}$.

Soit B le point d'abscisse 1 situé sur la droite $\left(D_1\right)$ ; quelle est l'équation de la droite (BO) ?

La construire.
\item Soit C le point d'intersection de $\left(D_1\right)$ avec l'axe O$x$ ; quelle est l'équation de la parallèle $\left(D_2\right)$  menée de C à OB ?  La construire.

Cette droite $\left(D_2\right)$ coupe l'axe des $y$ en un point E.

Quelles sont les coordonnées du milieu, I~ de [CE] ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soient un triangle BAC, rectangle en A, et une droite $(D)$ quelconque passant par A mais ne coupant pas la surface du triangle BAC ; on mène [AH], hauteur relative à [BC].

On trace (BE) perpendiculaire à $(D)$ en E et (CF) perpendiculaire à $(D)$ en F.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les quadrilatères AEBH et AFCH sont inscriptibles dans des cercles, dont on précisera le centre et le rayon.
\item Démontrer que les triangles EHF et BAC sont semblables ; qu'en déduit-on pour la nature du triangle EHF ?
\item On mène de B la parallèle à (EH) et, de C, la parallèle à (FH) ; ces droites se coupent en P{}.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du triangle BPC ?
		\item Montrer que les triangles EBA, CFA, BPC sont semblables.
		\item Écrire les rapports homologues.
		\item Si AB $= 4$ cm, AC $= 3$ cm, quels sont les rapports de similitude ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}