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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Lyon}
\lfoot{\small juin 1978}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Lyon juin 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip 

$f$ est l'application polynôme de $\R$ dans $\R$ définie par

\[f(x) = 4x^2 - 25 - (9 - x)(2x - 5).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer $f(x)$ et l'écrire sous la forme d'un polynôme réduit et ordonné.
\item Factoriser $f(x)$ en un produit de polynômes du premier degré.
\item Calculer $f(-2), \: f\left(\dfrac43\right),\: f\left(\sqrt 2\right)$.
\item Résoudre, dans l'ensemble des décimaux $\D$, l'équation d'inconnue $x$,\: $f(x) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction rationnelle de $\R$ dans $\R$ définie par

\[g(x) = \dfrac{2(x - 5)(6x - 8)}{(4x - 10)(x + 1)}\]

	\begin{enumerate}
		\item Quel est l'ensemble de définition de $g$ ?
		
Simplifier $g(x)$.
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation, d'inconnue $x$ : $g(x) = 1$.
	\end{enumerate}	
\item Calculer $g\left(\sqrt 2 - 1\right)$ ; on écrira le résultat de telle sorte que le dénominateur soit un entier.
\item Sachant que $1,414 < \sqrt 2 < 1,415$ donner la valeur approchée à $10^{-1}$ près par défaut de $g\left(\sqrt 2 - 1\right)$.
\end{enumerate}

\textbf{REMARQUE.} - Les exercices 1 et 2 sont indépendants.

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Dans un plan muni d'un repère orthonormé \Oij{} placer le points A, B, C et D définis par

\begin{center}$\vect{\text{OA}} =- \vect{\imath}  -2\vect{\jmath}, \quad \vect{\text{OB}} = 4 \vect{\imath},\quad \vect{\text{OC}} = 4 \vect{\imath}  + 4\vect{\jmath}, \quad \vect{\text{OD}} = - \vect{\imath}  + 2\vect{\jmath}$\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que (A, B, C, D) est un parallélogramme.
\item Calculer les coordonnées du point E tel que $\vect{\text{AE}} = 2\vect{\text{AB}}$.

Placer le point E.
\item Calculer les coordonnées du point P pour que (B, C, P{}, D) soit un parallélogramme.

Placer le point P{}.
\item Démontrer que les points P{}, C et E sont alignés.
\item Démontrer que le triangle (A, D, E) est un triangle rectangle.
\item $(\mathcal{C})$ est le cercle circonscrit au triangle (A, D, E) ; quel est son centre et pourquoi ?

Tracer le cercle $(\mathcal{C})$.
\item Calculer le rayon du cercle $(\mathcal{C})$.
\end{enumerate}

\textbf{N. B.} - \emph{On fera une figure complète et soignée.}
\end{document}