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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Lyon}
\lfoot{\small juin 1979}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Lyon juin 1979 \decofourright}}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système
\[\left\{\begin{array}{l c l}
2x +3y &=&5,\\
7x - 2y &=&5.
\end{array}\right.\]

\item Tracer, dans un plan muni d'un repère \Oij, les droites ayant pour équations 
\[2x + 3y = 5 \quad;\quad  7x - 2y = 5.\]

Interpréter géométriquement le résultat de la question \textbf{1.}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction polynôme $B$, de $\R$ dans $\R$, définie par
\[B(x)=(x + 3)(x - 2) + x^2 - 9 + (2x + 6)(x - 5).\]

	\begin{enumerate}
		\item Développer, réduire et ordonner $B(x)$.
		\item Écrire $B(x)$ sous forme d'un produit de facteurs du premier degré.
		\item Calculer $B(0),\:B(-3)$ et $B\left(\sqrt 2\right)$.
	\end{enumerate}
\item Soit $Q$ la fonction, de $\R$ dans $\R$, définie par
\[Q(x) = \dfrac{(x + 3)(4x - 15)}{x^2 + 6x + 9}\]

	\begin{enumerate}
		\item Trouver l'ensemble de définition $E$ de $Q$.
		\item Simplifier $Q(x)$ pour $x$ élément de $E$.
		\item Résoudre, dans $\R$, l'équation $Q(x) = - 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{\large GÉOMÉTRIE}
\end{center}

Le plan euclidien $(P)$ est muni d'un repère orthonormé \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère quatre points A, B, I et J du plan $P$ tels que
\begin{center}$\vect{\text{OA}} = 4\vect{\imath} + 3\vect{\jmath},\qquad  \vect{\text{OB}} = - 3\vect{\imath} + 4\vect{\jmath},\qquad \vect{\text{OI}} = \vect{\imath}$\quad et \quad $\vect{\text{OI}} = \vect{\jmath} $\end{center}

Écrire les coordonnées de ces quatre points et les placer dans le plan.
\item Trouver les composantes des vecteurs $\vect{\text{IJ}}$ et $\vect{\text{IB}}$.

Démontrer que les points I, J et B sont alignés.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du triangle (I, A, B) ?
		\item Démontrer que le triangle (O, A, B) est rectangle et isocèle.
		\item Démontrer que les quatre points O, I, A et B appartiennent à un cercle dont on précisera le centre et dont on calculera le rayon.
	\end{enumerate}
\item On appelle $\alpha$ l'écart angulaire de l'angle
géométrique $\widehat{\text{OAB}}$.

Calculer $\tan \alpha$.

Quelle est la valeur de $\alpha$ en degrés ?
\end{enumerate}
\end{document}