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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Lyon}}
\rfoot{\small{juin 1953}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Lyon juin 1953}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les nombres $a$ et $b$ pour que le polynôme 
\[x^3 + x^2 + ax + b\]
prenne la valeur $0$ dans les deux cas suivants :
	\begin{enumerate}
		\item quand on donne à $x$ la valeur $-1$ ;
		\item quand on donne à $x$ la valeur 2.
	\end{enumerate}
\item Décomposer le polynôme 
\[x^3 + x^2 - 4x - 4\]
en un produit de trois facteurs du premier degré.

Quelles sont les valeurs de $x$ qui annulent ce polynôme ?
\item Effectuer les opérations suivantes et simplifier le résultat obtenu :

\[\dfrac{x^2 + x^2 - 2x - 20}{x^2 - 4} - \dfrac{5}{x + 2} + \dfrac{3}{x - 2}.\]
\item On donne l'équation

\[(1) \quad \dfrac{x^2 + x^2 - 2x - 20}{x^2 - 4} = x + 1  + \dfrac{5}{x + 2} + \dfrac{b}{x - 2}.\]


Déterminer $a$ et $b$ pour que cette équation soit vérifiée par les nombres $x = 0,\: x = 1$.

Montrer que, si l'on remplace $a$ et $b$ par les valeurs trouvées, l'équation (1) devient une identité.

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

On construit un quart de cercle de centre O, limité par les deux rayons [OA], [OB]\: (OA = OB $= R$).

Soient M un point quelconque pris sur l'arc $\widearc{\text{AB}}$, H et H$'$ les projetés de M sur (OA) et (OB), T le point où (OM) coupe la tangente en A au quart de cercle tracé.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les triangles OMH et OAT ; en déduire la relation
\begin{center}(1)\quad  OH $\times$ OT $= R^2$.\end{center}
\item La tangente en M coupe la droite (OA) en S.

Quelle est la relation existant entre OM, OH, OS ?

Comparer les triangles OMS et OAT et en déduire une deuxième manière de démontrer la relation (1).
\item (TA) et (MS) se coupent en I.

Quelle est la position de la demi-droite [OI) par rapport à l'angle $\widehat{\text{TOS}}$ ?

Comment doit-on choisir la longueur OT pour que le rapport $\dfrac{\text{IT}}{\text{IA}}$
soit égal à un nombre donné $k$ ?

Quelle sera la valeur du rapport $\dfrac{\text{OH}}{\text{HA}}$ dans ce cas ?
\item On construit par M la parallèle à (AB), qui coupe (OA)
 et (OB) en A$'$ et B$'$.

Calculer $\overline{\text{MA}'}^2$ et $\overline{\text{MB}'}^2$ en fonction respectivement de $\overline{\text{MH}}^2$ et $\overline{\text{MH}'}^2$ et démontrer .

que $\overline{\text{MA}'}^2 + \overline{\text{MB}'}^2$ conserve une valeur constante lorsque M décrit le quart de cercle.
\end{enumerate}
\end{document}