\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Lyon juin 1955},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Lyon}}
\rfoot{\small{juin 1955}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Lyon juin 1955~\decofourright\\[7pt]Enseignement long et enseignement court}}}
\end{center}

\medskip

\begin{center}\textbf{ARITHMÉTIQUE  ET ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sous la forme d'un produit de facteurs premiers chacun des nombres \np{3969} et \np{1764}.

En déduire :
	\begin{enumerate}
		\item la racine carrée exacte de ces deux nombres ; 
		\item la fraction irréductible égale à $\dfrac{\np{3969}}{\np{1764}}$.
	\end{enumerate}
\item Trouver deux nombres positifs, $x$ et $y$, directement proportionnels à \np{1764} et \np{3969}, sachant que leur différence est $2,5$.
\item Résoudre graphiquement la question posée au \textbf{2.} avoir transformé les deux relations entre $x$ et $y$ pour
exprimer $y$ en fonction de $x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

Sot un cercle de centre O, de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$.

Sur la tangente en A au cercle, on porte une longueur $\text{AC} = 2R$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire la deuxième tangente, (CT), menée de C au cercle.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les triangles ACT et BOT sont semblables.
		\item Quel est le rapport de similitude ?
		\item Calculer en fonction de $R$ les longueurs AT et BT.
 	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les triangles AOT et BOT ont même aire.
		\item Calculer en fonction de $R$ les aires des triangles ABT et BOT et celle du quadrilatère ABTC.
	\end{enumerate}
\item (OC) coupe (AT) en H. On désigne par K le milieu de CH et par I le milieu de l'arc $\widearc{\text{AB}}$ situé dans l'angle $\widehat{\text{BAC}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les trois points B, I, C sont alignés et que I est le milieu de [BC].
		\item Démontrer que les trois pointa K, I, T sont alignés.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}