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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Lyon}}
\rfoot{\small{juin 1956}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle juin 1956~\decofourright\\[7pt]
Lyon}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 1,1t,\\
x &=& 0,75(t + 14).
\end{array}\right.\]

\item Un autocar A part d'une station. 14 minutes plus tard, un deuxième autocar, B, en part. B roule à $66$~km/h. Par suite d'une avarie, A ne marche qu'à $45$~km/h.

En prenant comme origine des temps le départ de B, et comme unités la minute et le kilomètre, exprimer, en fonction du temps, les distances parcourues par le deux autocars.
\item À quel moment et à quelle distance de la station de départ B rattrapera-t-il A ?
\item Un motocycliste part de la station en même temp que B, à $80$km/h.

Il rattrape A, fait demi-tour, à la rencontre de B, refait demi-tour pour rattraper A.

Il continue ce mouvement d'un autocar à l'autre jusqu'à ce que les deux autocars se croisent.

Quelle distance aura-t-il alors parcourue?
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne un triangle ABC rectangle en A, AB $= 6$ cm, AC $= 3$ cm.

B est centre d'un cercle de rayon $3$ cm.

C est centre d'un cercle de rayon $1,5$ cm.

On prend deux rayons [BM] et [CN] perpendiculaires, dans les sens relatifs indiqués par la figure.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les triangles ABM et ACN et évaluer $\dfrac{\text{AM}}{\text{AN}}$.

Comparer les angles en A de ces deux triangles.

Que vaut l'angle $\widehat{\text{MAN}}$ ?

Comparer les triangles ABC et AMN.
\item Soient D le milieu de [BC], I le milieu de [MN].

%%%%%%%%  fig
\psset{unit=1.4cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-1.6)(4.7,2.6)
%\psgrid
\pspolygon[linewidth=1.5pt](0,0)(3.1,0)(0,1.5)%ABC
\psframe(0.2,0.2)
\pscircle(3.1,0){1.5}\pscircle(0,1.5){0.75}
\psline(3.1,0)(4.2,1)\uput[ur](4.2,1){M}
\psline(0,1.5)(-0.4,2.14)\uput[ul](-0.4,2.14){N}
\uput[d](0,0){A} \uput[d](3.1,0){B} \uput[ur](0,1.5){C} \uput[l](0,0.6){\footnotesize 3 cm} \rput{42}(3.6,0.8){\footnotesize 3 cm} \uput[d](1.5,0){\footnotesize 6 cm}\rput{-56}(-0.15,2){\footnotesize 1,5 cm}
\end{pspicture}
\end{center}

Que peut-on dire des triangles ABD, AMI ? 

Montrer que les triangles AÈM et ADI sont semblables.
\item On suppose que M parcourt le cercle de centre B. Montrer que [DI] garde une longueur constante.

Quelle courbe décrit le point I ?
\end{enumerate}
\end{document}