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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Lyon}}
\rfoot{\small{juin 1958}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Lyon juin 1958}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Soit l'expression : 
\[A = (3x - 1)^2 - (5x + 3)^2.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item La mettre sous la forme d'un polynôme ordonné.
\item La décomposer en un produit de deux facteurs.

Effectuer ce produit et vérifier que l'on retrouve le polynôme précédent.
\item Quelle et la valeur numérique de ce polynôme pour 
$x = - \dfrac12$ ?

Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $A = 0$ ?
\item Simplifier l'expression 
\[y = \dfrac{A}{- 32x - 8}\]
et représenter  graphiquement les variations de la fonction $y$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un angle $\widehat{x\text{I}y}$ aigu.

Sur le côté I$x$ de cet angle, on place un point A fixe.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le cercle $\mathcal{C}$ de centre O tangent en A à I$x$ et
centré sur I$y$.
\item Soient M et N les points de ce cercle $\mathcal{C}$ situés sur I$y$.

En M et N on élève les perpendiculaires à I$y$ et soient B et C leurs intersections respectives avec I$x$.

Que peut-on dire du cercle de centre C et de rayon CN et du cercle de centre B et de rayon BM ?
\item Comparer les triangles ICN, IOA et IBM.

Montrer alors que I et A partagent [BC] dans le même rapport.

On suppose que le côté I$y$ de l'angle $\widehat{x\text{I}y}$ pivote autour de I, l'angle restant constamment aigu, I$x$ et A étant fixes.

Prouver que $\overline{\text{IM}} \cdot \overline{\text{IN}}$ reste égal il une constante que l'on déterminera.
\item Prouver que IO$^2 = \overline{\text{IB}} \cdot \overline{\text{IC}}$ et en déduire que le cercle passant par B, O et C est tangent à I$y$.
\end{enumerate}
\end{document}