\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Lyon juin 1959},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1959}
\rfoot{\small Lyon}
\lfoot{\small juin 1959}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Lyon juin 1959 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire les représentations graphiques $D$ et $D'$ des fonctions

\begin{center}$y = 2x + 2$ \qquad et \qquad $y = - 2x + 2$\end{center}
et démontrer que ces droites $D$ et $D'$ sont symétriques
par rapport à l'axe des ordonnées.
\item Résoudre les système suivants :
\[(\text{I})\left\{\begin{array}{l c l}
y &= &0,\\
y &=& 2x +2,
\end{array}\right.\qquad 
(\text{II}) \left\{\begin{array}{l c l}
y &=&  2x + 2,\\
y&=& x + \dfrac32.
\end{array}\right.\]

Vérifier graphiquement.
\item On désigne maintenant par $y$ la fonction de la
variable $x$ définie de la manière suivante :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
\text{si}\: &x < - 1,&y = 0\\
\text{si}\:&- 1 \leqslant x < 0,&y = 2x + 2\\
\text{si}\:& 0~\leqslant x < 1,&y = -2x + 2\\
\text{si}\:&x \geqslant 1,&y= 0.
\end{array}\right.\]

Construire sur de nouveaux axes de coordonnées la courbe $C$ (ligne brisée) représentative de $y$ et démontrer que $C$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
\item $y$ désignant la fonction définie au 3., résoudre
graphiquement l'équation
\[y= x +\dfrac32.\] 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit un triangle rectangle isocèle ABC. L'angle $\widehat{\text{BAC}}$ est égal à 1 droit ; AB = AC $= a$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur AH de la hauteur en fonction de $a$.
\item On construit le parallélogramme ABCD.

(BD) coupe (AH) en I.

Calculer IA et IH en fonction de $a$.
\item Le cercle circonscrit au triangle ABC recoupe (BD) en K.

On désigne par O le centre du parallélogramme.

Calculer BO, puis DK en fonction de $a$.
\item Montrer que tout point de la perpendiculaire en H au plan du triangle ABC est équidistant de A, B et C.
\end{enumerate}
\end{document}