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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Lyon juin 1961~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Soit l'expression
\[A(x) = 3(x - 2)^2- 4 + x^2 - (2 - x)(x + 5).\]

Effectuer les opérations et écrire $A(x)$ sous la forme d'un polynôme réduit et ordonné.
\item Décomposer $A(x)$ en un produit de facteurs du premier degré.
\item Soit la fraction
\[F(x) = \dfrac{5x^2 - 9x -2}{3x^2 - 12}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Simplifier $F(x)$.
		\item Trouver la valeur numérique de $F(x)$ pour

\[x = 2, \qquad x =- \dfrac15,\qquad x = \sqrt 5.\]
		\item Calculer $x$ pour que cette fraction ait pour valeur 1.
	\end{enumerate}
\item Représenter graphiquement les fonctions
\begin{center}$y = 5x + 1$\qquad  et \qquad $y = 3x + 6$.\end{center}

Comment peut-on retrouver, au moyen du graphique, la valeur de $x$ telle que $F(x) = 1$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Dans un demi-cercle de centre O, de diamètre [AB] de longueur  $2R$, on trace un rayon variable [OM].

La parallèle à (AB) menée par M recoupe le cercle en P{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le milieu, I, de [AM] décrit un demi- cercle $(\mathcal{C})$ de diamètre [AO].
\item La parallèle à (AB) menée par I recoupe (AP) en J.

Montrer que .J est sur $(\mathcal{C})$.
\item On suppose maintenant que $\widehat{\text{AOM}} = 120\degres$.
	\begin{enumerate}
		\item Nature du quadrilatère AOMP ?
		
Montrer que la droite (OI) passe par P.
		\item Évaluer la puissance du point P par rapport au cercle de diamètre [AO].
		
		\item On mène une tangente (PT) à $(\mathcal{C})$ ; évaluer la longueur PT.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{N. B. -} Les questions 2. et 3. sont indépendantes.
\end{document}