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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Lyon juin 1966~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\smallskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\begin{enumerate}
\item Construire sur un même graphique les droites
$\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ représentant les variations des fonctions
\begin{center}$y_1 =- 2x + 5$.\qquad et \qquad $y_2 = 2x + 5$.\end{center}

Quelles sont les coordonnées de leur point d'intersection, A, et du point B, intersection de $\left(D_1\right)$ avec l'axe $x'x$ ?

O étant l'origine des coordonnées, calculer $\tan \widehat{\text{OAB}}$.
\item Calculer
\[S = \dfrac{1}{y_1} + \dfrac{1}{y_2} - \dfrac{4x}{25 - 4x^2}.\]

En déduire la relation entre $S$ et $y_2$.
\item Calculer la valeur numérique de $S$ pour $x = \dfrac{\sqrt 3}{2}$, puis pour $x = - \dfrac52$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit un trapèze rectangle ABCD $\left(\widehat{\text{A}} = \widehat{\text{D}} = 90\degres\right)$.

On donne AD $= a\sqrt 3$, AB $= 2a$, CD $= 3a$.

On désigne par H la projection de B sur (DC) et par M le milieu de [DH].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les diagonales du trapèze.
\item Calculer les angles du triangle ABC.
\item Démontrer que (BM) est perpendiculaire à (AC), en I.
\item On trace par B une droite $xy$ (non parallèle à (AC)),
qui coupe le prolongement de [AC].

Par les points A, C et I on mène les perpendiculaires (AE), (CF) et (IK) à $xy$ (E, F, K sur $xy$).

Démontrer que le quadrilatère AEBI est inscriptible ; en déduire l'égalité des angles $\widehat{\text{BAI}}$ et $\widehat{\text{BEI}}$.
\item Démontrer que les triangles ABC et EIF sont semblables.
\item Calculer EF dans le cas où $xy$ est le support de [BC].
\end{enumerate}
\end{document}