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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Lyon juin 1968~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

Sur un axe $x'Ox$, dont O est l'origine, on prend deux points, F et G, tels que $\overline{\text{OF}} = - 3$ et $\overline{\text{OG}}= + 2$ et un point P tel que $\overline{\text{OP}}= x$.
\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $\overline{\text{FP}}$ et $\overline{\text{GP}}$ en fonction de $x$.
\item On pose $y = \dfrac{\overline{\text{FP}}}{\overline{\text{GP}}}$.

Quelles valeurs $y$ prend-il pour 
\begin{center}$x=- 3,\quad x = 2,\quad x = \sqrt 3$ ?\end{center}
\item Construire dans un même système d'axes, les droites $\Delta$ et $\Delta'$ dont les équations respectives sont 
\begin{center}$y = x + 3$\qquad  et\qquad  $y =  x - 2$.\end{center}
\item Tracer sur le graphique la droite qui joint tou les points d'abscisse $x= - 1$.

En déduire la valeur du rapport $\dfrac{\overline{\text{FP}}}{\overline{\text{GP}}}$ pour $x = - 1$.
\item La droite $\Delta$ coupe l'axe des ordonnées en A et
la droite $\Delta'$ coupe le même axe en D.

Soit les points B(4~;~7) et C(4~;~2).

Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit un cercle de centre O et de diamètre [AB] tel que  AB $= 2R$.

On prend sur (AB) un point tel que $\dfrac{\text{PA}}{\text{PB}} = \dfrac53$.

Une sécante à ce cercle, mobile autour du point P, coupe le cercle en M et N.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer PA et PB en fonction de $R$.
\item Montrer que le produit PM $\cdot$ PN est constant, quelle que soit la position de la sécante (MN).

Donner la valeur de ce produit en fonction de $R$.
\item Dans le cas particulier où la sécante (MN) est perpendiculaire à (AB), calculer MP en fonction de $R$.
\item On désigne par M$'$N$'$ la position particulière de la sécante telle que celle droite soit bissectrice de l'angle $\widehat{\text{AM}'\text{B}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Construire M$'$N$'$.
		\item Calculer en fonction de $R$ la longueur PM$'$.
		\item Quelle est 1a valeur numérique du rapport $\dfrac{\text{M}'\text{A}}{\text{M}'\text{B}}$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}