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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Lyon}}
\rfoot{\small{juin 1969}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Lyon juin 1969}}

\medskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire sous forme de polynômes ordonnés les produits suivants:
\[\begin{array}{l c l}
A(x) &=& (2x - 5) (3x + 1),\\
B(x)&=&(5x - 4)(3x + 1).
\end{array}\]

\item Écrire sous forme d'un produit de deux facteurs
du premier degré l'expression
\[C(x) = (2x - 5)^2 - (5x - 4)^2.\]

\item Pour quelles valeurs de $x$ l'expression $C(x)$ est-elle nulle ?
\item Écrire sous forme d'une fraction dont le numérateur et le dénominateur soient des produits de deux facteurs du premier degré l'expression
 \[D(x) = \dfrac{6x^2 - 13x - 5}{15x^2 - 7x - 4} - \dfrac{15x^2 - 7x - 4}{6x^2 - 13x - 5},\]
en précisant pour quelles valeurs de $x$ l'expression $D(x)$ n'a pas de sens.
\item Calculer les valeurs numériques de $D(x)$ pour $x = 1$, puis pour $x = \sqrt 2$, en simplifiant au maximum les résultats.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Soit un triangle ABC inscrit dans un cercle (O) de rayon $R$.

La parallèle menée par B à la tangente en A au cercle (O) coupe la droite (AC) en D.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les triangles ABC et ADB sont semblables.

En déduire que 
\begin{center}AB$^2 =$ AC $\cdot$ AD.\end{center}
\item La parallèle menée par B à la tangente en C au cercle (O) coupe (AC) en E et recoupe le cercle (O) en F{}.

Comparer les triangles ABC et BEC.
\item Montrer que les triangles BED et BFC sont isocèles.
\item Dans cette question et la suivante, on suppose que l'angle $\widehat{\text{A}}$ du triangle ABC a pour mesure $60\degres$.

Quelle est alors la nature du triangle BFC ?

Calculer la longueur du segment BF en fonction de $R$.
\end{enumerate}
\end{document}