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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Lyon}}
\rfoot{\small{juin 1971}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle Lyon~\decofourright\\[6pt] juin 1971}\\[6pt]
MATHÉMATIQUES TRADITIONNELLES}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center} 

\medskip

\textbf{I.} 

\begin{enumerate}
\item Effectuer le produit : $\left(x^2 - 9\right)(x + 1)$ et ordonner le résultat par rapport aux puissances décroissantes de $x$.
\item Mettre sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré
chacune des deux expressions :

\[\begin{array}{l c l}
A(x) &=& x^3 + x^2 - 9x - 9, \\
B(x) &=& (x - 2)^2 - (x - 4)^2.
\end{array}\]

\item Simplifier la fraction

\[F(x) = \dfrac{A(x)}{B(x)}.\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II.}

\begin{enumerate}
\item Soit dans un repère orthonormé le point A ayant pour coordonnées $x = 9, y = 6$ ; déterminer l'équation de droite (OA) (O désignant l'origine des coordonnées).
\item Soit H la projection de A sur O$x$.

Déterminer le point B de l'axe des $x$ tel que le triangle OAB soit rectangle en A.

Déterminer l'équation de la droite (AB).
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center}

\medskip

Soit un segment AB $= a$, et M le point qui divise extérieurement [AB] dans le rapport $\dfrac{1}{3}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer MA et MB en fonction de $a$.
\item Soit (MP) une tangente au cercle de diamètre [AB].

Soit O le centre de ce cercle.

Donner une construction de cette tangente.

Calculer MP.
\item La droite (MP) coupe la tangente en B au cercle (O) en E.
Démontrer que le quadrilatère PEBO est inscriptible dans un cercle dont on calculera le diamètre.
\item Quelle est la puissance du point E par rapport au cercle (O) ?
\item Les droites (PO) et (EB) se coupent en K.

Donner la nature du triangle MER.
\end{enumerate}
\end{document}