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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Lyon juin 1975~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\textbf{Algèbre}\end{center}

\smallskip



\begin{enumerate}
\item Factoriser les fonctions polynômes $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$ définies par :
\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=& 4x^2 - 25 - x (2x  - 5) \:\text{et}\\
g(x) &=& 2x^2 + 20x + 50
\end{array}\]

\item On considère la fonction rationnelle $p$ de $\R$ dans $\R$ définie par:
\[p(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Donner son ensemble de définition $\mathcal{E}$.
		\item Pour tout élément $x$ de $\mathcal{E}$, donner une forme plus simple de $p(x)$.
		\item Calculer $p\left(\sqrt 2\right)$.
		
Rendre le dénominateur rationnel.
		\item Sachant que $1,4 < \sqrt 2 < 1,5$ déterminer un encadrement de $p\left(\sqrt 2\right)$. d'amplitude $0,1$.
	\end{enumerate}	
\item Résoudre dans $\mathcal{E}$ les équations suivantes
	\begin{enumerate}
		\item $p(x) =0$ ;
		\item $p(x) = 1$.
	\end{enumerate}
\item Dans un repère cartésien \Oij{} représenter graphiquement les fonctions affines suivantes :
\[\begin{array}{l l c l}
h :& \R& \to&\R\\
&x &\longmapsto&2x - 5
\end{array}\qquad 
\begin{array}{l l c l}
h :& \R& \to&\R\\
&x &\longmapsto&2(x + 5)
\end{array}\]

Utiliser cette représentation pour retrouver les résultats de la troisième question.
\item Déterminer la fonction $t \circ h$.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Géométrie}\end{center}

\Oij{} est un repère orthonormé du plan.

Le point A et les vecteurs $\vect{u}$ et $\vect{v}$ sont donnés par leurs coordonnées ou composantes

\begin{center}A(5~;~0), \qquad $\vect{u}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix},\qquad \vect{v}\begin{pmatrix}2\\- 3\end{pmatrix}$\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Trouver les coordonnées des points B et C tels que: 
\begin{center}$\vect{\text{AB}}  =2\vect{u}$\qquad et \qquad $\vect{\text{AC}}  = \vect{v}$\end{center}
et placer les points A, B, C sur un dessin.
\item On rappelle les coordonnées des points B et C :

\begin{center}B(1~;~4), \qquad  C$(-3~;~4-3)$\end{center}

La distance de A et B est notée $d$(A, B).

Calculer: $d$(A, B) ; $d$(A, C) et $d$(B, C).

Montrer que les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.
\item Quelles sont les coordonnées du point M, milieu du segment [B, C] ?

Construire le point D tel que M soit le milieu du segment [A, D].

Donner les coordonnées de D, les vérifier par le calcul.

Montrer que les droites (BD) et (CD) sont perpendiculaires.

Quelle est la nature du quadruplet (A, B, C, D) ?
\item Construire par le point E tel que $\vect{\text{BE}} = \vect{\text{AD}}$.

Démontrer que les points C, D et E sont alignés.
\item Soit $\alpha$ l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{BAD}}$.

Calculer $\tan \alpha$.

Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude un degré en utilisant le tableau
suivant, extrait d'une table trigonométrique.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$\alpha$ en degrés&sinus &cosinus&tangente\\ \hline
25	&0,423	&0,906		&0,466\\ \hline
26  &0,438	&0,899		&0,488\\ \hline
27 	&0,454	&0,891		&0,510\\ \hline
28 	&0,469	&0,883		&0,532\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\end{enumerate}






\end{document}