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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1976}
\rfoot{\small Lyon}
\lfoot{\small juin 1976}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Lyon juin 1976 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

On considère les applications polynômes de $\R$ dans $\R$ définies par

\[f :\left\{\begin{array}{l c l}
\R &\to \R\\
x &\longmapsto&f(x) = 4x^2 - 1- (2x - 1)(x + 6).
\end{array}\right.\]
\[g :\left\{\begin{array}{l c l}
\R &\to \R\\
x &\longmapsto&g(x) = (x - 5)(2x - 3)+ x^2 - 25.
\end{array}\right.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$ et $g(x)$.
\item Factoriser $f(x)$ et g$(x)$.
\item On pose $m(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$.

Donner l'ensemble de définition de $m(x)$, puis simplifier $m(x)$.
\item Résoudre les équations suivantes dans le domaine de définition de $m(x)$
\begin{center}$m(x) = 0$, \quad  puis \quad $m(x) = 1$.\end{center}

\item Faire dans un repère orthonormé du plan, la représentation graphique des droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$ d'équations respectives
\[\begin{array}{l l c l}
\left(d_1\right) \quad &y&=&2x - 1,\\
\left(d_2\right) \quad &y&=&3x + 2.
\end{array}\]

Quel est le point d'intersection de ces deux droites ?
\item Donner la valeur décimale approchée par défaut d'ordre 2 de $m\left(\sqrt 2\right)$.

On donne $1,414 < \sqrt 2 < 1,415$.

Aurait-on pu répondre si l'on avait donné 
$1,41 < \sqrt 2 < 1,42$ ? 

Pourquoi ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Dans un plan euclidien muni d'un repère orthonormé \Oij{} les points A et B sont définis par leurs coordonnées A(2~;~4) et B(3~;~1).

Le point C est défini par $\vect{\text{OC}} = 2\vect{\text{OA}} - 3 \vect{\text{OB}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du point C.

\item Déterminer l'équation de la hauteur $h$ issue de A
du triangle ABC.

Vérifier que le point O appartient à cette droite.
\item Démontrer que le couple des coordonnées du
point H intersection de $h$ et de la droite (BC) est (1~;~2).
\item Démontrer que l'on a

\[\left\|\vect{\text{HA}}\right\|= \left\|\vect{\text{HO}}\right\| = \left\|\vect{\text{HB}}\right\|.\]

En déduire que le triangle (OCA) est isocèle et que le triangle (OBA) est isocèle rectangle en B.
\item Soit K le milieu de (B, C).

Démontrer que K appartient au cercle de centre H et de rayon HB.
\item Démontrer que le quadrilatère (A,  B, O, K) est un carré.
\end{enumerate}
\smallskip

\textbf{N. B.} La connaissance des coordonnées de H suffit pour répondre aux questions 4. 5. et 6.
\end{document}