\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Lyon juin 1977},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Lyon}
\lfoot{\small juin 1977}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Lyon juin 1977 \decofourright}}
\end{center}

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $F(x) = \left(x^2 + 2x - 6\right)^2 - \left(x^2 - 2x- 2\right)^2$.
	\begin{enumerate}
		\item Décomposer le polynôme $F(x)$ en un produit de polynômes du premier degré.
		\item Calculer $F\left(\sqrt 6\right)$.
		\item Sachant que $2,449 < \sqrt 6 < 2,450$ donner un encadrement d'amplitude $0,1$ de F(vIG).
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation d'inconnue $x :\: F(x) = 0$.
	\end{enumerate}	
\item $G(x) = x^3 + x^2 - 4x - 4$.

Écrire le polynôme $G(x)$ sous la forme d'un produit de polynômes du premier
degré.
\item H est la fonction dans $\R$ telle que :
\[H(x) = \dfrac{(8x + 16) (x - 2) (x - 1)}{\left(x^2 - 4\right)(x + 1)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition (ou existentiel) de $H$. On appellera $\mathcal{E}$ cet ensemble.
		\item Écrire le plus simplement possible $H(x)$ lorsque $x$ est élément de $\mathcal{E}$.
		\item Résoudre dans $\mathcal{E}$ l'équation d'inconnue $x: H(x) = 24$.
		\item Résoudre dans $\mathcal{E}$ l'équation d'inconnue $x : H(x) = 4$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\emph{Remarque} : les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes.

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{E}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$ on place le point A de coordonnées (5~;~6), le point B de coordonnées $(-3~;~2)$, le point C de coordonnées $(10~;~-4)$, puis on trace le triangle ABC. 

(Faire un dessin qui sera complété au cours du problème).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du point D tel que: $\vect{\text{BD}} = \vect{\text{CA}}$.
\item Prouver que le point M, milieu de (A, B), est élément de la droite (CD).
\item Trouver une équation de la droite (BC) et en déduire les coordonnées du point P, intersection de BC avec l'axe des abscisses.
\item Démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.
\item Calculer les coordonnées du centre R du cercle passant par les trois points A, B, C, (ou cercle circonscrit au triangle ABC). 

Le point A$'$ de coordonnées $(2~;~-8)$ est-il élément de ce cercle ? Pourquoi ?
\item Encadrer par deux naturels consécutifs la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ 
du triangle ABC en utilisant le sinus, ou le cosinus, ou la tangente de l'écart angulaire de cet angle (on se servira de l'extrait de table ci-dessous).

\newpage

\textbf{Extrait de la table :}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Degrés 	&Sinus	&Tangente 	&Cosinus\\ \hline
48		&\np{0,7431}	& 1,111		&\np{0,6691}\\
49		&\np{0,7547}	& 1,150 	&\np{0,6561}\\
50		&\np{0,7660}	& 1,192 	&\np{0,6428}\\
51		&\np{0,7771}	& 1,235		&\np{0,6293}\\
52		&\np{0,7880}	& 1,280		&\np{0,6157}\\
53		&\np{0,7986}	&1,327		&\np{0,6018}\\
54		&\np{0,8090}	&1,376 		&\np{0,5878}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\emph{Remarque} : les questions 1, 3, 4 et 5 sont indépendantes.
\end{document}