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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1981}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Lyon juin 1981 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

 On pose

\[A = - 2 + \dfrac29, \qquad B = \dfrac56 - \dfrac34.\]

Calculer $A^2 \:;\: A \times B \:; \:\dfrac AB$.

On donnera les résultats sou forme de fractions irréductibles.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Transformer l'écriture des réels $x$ et $y$ suivants en les mettant sous la forme $a\sqrt b$

($a \in \Z ;\: b \in \N$) :

\[x = 5\sqrt 8 - 3\sqrt{18},\qquad  y = \dfrac{2}{\sqrt 2} - \dfrac{1}{\sqrt 2 - 1}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On considère $f(x) = x^2- (2x - 1)^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $f(x)$.
\item Résoudre, dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre, dans $\R \times \R$, le système

\[\left\{\begin{array}{l c l}
2x + y - 3			&=&0,\\
\phantom{2}x - 2y -4&=&0.
 \end{array}\right.\]
 
\item Dans un plan rapporté à un repère \Oij, construire les droites d'équations

\[2x + y - 3 = 0 \:;\qquad  x - 2y - 4= 0.\]

\item Retrouver graphiquement le résultat de la
question 1.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

On demande une figure soignée et des réponses justifiées.

Dans un plan rapporté à un repère orthonormé \Oij{} on place les points A, B, C, donnés par leurs coordonnées :

\begin{center} A$(- 3~;~-2)$,\qquad B$(-4~;~2)$, \qquad C(5~;~0).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les distances AB, AC, BC. 

Quelle est la nature du triangle (A, B, C) ?
\item Démontrer que les points A, B, C sont situés sur un cercle dont on précisera le centre et dont on calculera le rayon.
\item On appelle $d$ la tangente en B à ce cercle.

Soit R le point de coordonnées $(-7~;~-3)$. Le point R est-il un point de la droite $d$ ?

Est-il un point de la droite (AC) ?
\item Calculer la tangente de l'angle $\widehat{\text{BCA}}$.
\end{enumerate}
\end{document}