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%Tapuscrit : Denis Vergès
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%%%%%%%
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1990}
\rfoot{\small Lyon}
\lfoot{\small juin 1990}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Lyon\footnote{Besançon, Reims} juin 1990 \decofourright}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{\large ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\emph{Les questions sont indépendantes}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les deux expressions suivantes : (les résultats seront donnés sous la forme $\dfrac pq$ où $p$ et $q$ sont des entiers).

\[A = 2 + \dfrac79 \times \dfrac12 ; \quad B = \dfrac{1,8-1,5}{3,6-1,5}.\]

\item Calculer

\[C = \left(2 - \sqrt 3\right)\left(2 + \sqrt 3\right).\]

\item L'année-lumière est la distance parcourue par la lumière en
une année ; elle est à peu près égale à $9,461 \times 10^{12}$~km.

La distance entre la Terre et l'étoile la plus éloignée de notre galaxie est de \np{75000}~années-lumière. 

Exprimer cette distance en km. Donner l'écriture scientifique du résultat.
\end{enumerate}

\begin{minipage}{0.68\linewidth}
\begin{enumerate}[resume]
\item On considère un solide formé de deux pyramides régulières ayant en commun la
même base carrée.

La base commune des pyramides est un carré de $10$~cm de côté. La hauteur du solide est de
$30$~cm.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.28\linewidth}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-2.3)(2.3,1.5)
\pspolygon(0,1.5)(-1,-0.6)(0.6,-0.6)(1,0.6)
\psline(0,1.5)(-0.6,0.6)(-1,-0.6)
\psline(-1,-0.6)(0,-2.2)(0.6,-0.6)(0,1.5)
\psline[linestyle=dashed](0,-2.2)(1,0.6)
\psline[linestyle=dashed](1,0.6)(-0.6,0.6)
\psline[linestyle=dashed](0,1.5)(0,-2.2)(2.2,-2.2)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.5,0)
\psline[linestyle=dashed](0.6,-0.6)(-0.6,0.6)(0,-2.2)
\psline[linestyle=dashed](0.6,-0.6)(0,-2.2)
\psline[linestyle=dashed](0,1.5)(2.3,1.5)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1.5,1.5)(1.5,0)\uput[r](1.5,0.75){$x$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(2.3,1.5)(2.3,-2.3)\uput[r](2.3,-0.4){30}
\end{pspicture}

\end{minipage}

\begin{enumerate}[resume]
\item La hauteur, en cm, de l'une des deux pyramides est désignée par la lettre $x$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer, en fonction de $x$, la hauteur de l'autre pyramide. 
		\item Le volume d'une pyramide est donné par la formule
$V = \dfrac13 B h$ où $B$ désigne l'aire de la base et $h$ la hauteur.

Calculer, en fonction de $x$, le volume de la pyramide de hauteur $x$. 

Calculer, en fonction de $x$, le volume de la deuxième pyramide. 

En déduire le volume du solide et vérifier que ce volume ne
dépend pas de $x$.
	\end{enumerate}
\item \emph{À la boulangerie} : un client demande : \og 4 baguettes et 5 croissants\fg.

Il paie $30$ francs. Un autre client demande: \og 2 baguettes
et 3 croissants\fg.

Il paie $17$ francs.

Quel est le prix d'une baguette ? celui d'un croissant ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\emph{Les questions sont indépendantes}

La figure ci-après représente un élément de charpente métallique. Elle se compose de deux parties symétriques par rapport à la droite (CG). Les dimensions sont en mètres :

\begin{center}
CG = 1,5 ;\: AH = HG = GF = FE = 2.\end{center}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4.7,-0.2)(4.7,2)
\pspolygon(-4.4,0)(4.4,0)(0,1.6)%AEC
\psline(-2.2,0)(-2.2,0.8)(0,0)(2.2,0.8)(2.2,0)%HBGDF
\psline(0,1.6)(0,0)%CG
\uput[l](-4.4,0){A} \uput[u](-2.2,0.8){B} \uput[u](0,1.6){C} \uput[u](2.2,0.8){D}
\uput[r](4.4,0){E} \uput[d](2.2,0){F} \uput[d](0,0){G} \uput[d](-2.2,0){H}
\uput[d](-3.3,0){2} \uput[d](-1.1,0){2} \uput[d](1.1,0){2} \uput[d](2.2,0){2}
\uput[r](0,0.8){1,5}
\psframe(-2.2,0)(-2,0.2)\psframe(0,0)(0.2,0.2)\psframe(2.2,0)(2.4,0.2)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur AC. Donner le résultat arrondi au centième.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que B est le milieu de [AC].
		\item Calculer la longueur BH.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que BG = BC.
		\item Quelle est la nature du quadrilatère BCDG ? Justifier.
	\end{enumerate}
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{CAG}}$. Donner la mesure au degré
près le plus proche.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large PROBLÈME}

\medskip

\emph{Les deux parties sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Première Partie}

\medskip

Les calculs que vous ferez devront obligatoirement figurer sur la copie.

Le tableau ci-après donne pour l'année 1989 la répartition des employés d'une entreprise suivant leur salaire mensuel exprimé en francs.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'effectif total des employés.
\item Quel est le pourcentage des employés dont le salaire mensuel
est \np{5000}~francs exactement ?
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
Salaire mensuel en francs&Effectif\\ \hline
\np{4000}& 159\\ \hline 
\np{5000}& 252\\ \hline 
\np{6000}& 96\\ \hline 
\np{7500}& 69\\ \hline 
\np{10000}& 18\\ \hline 
\np{13500}& 6\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

\emph{Les questions pourront aussi être traitées dans l'ordre }3-1-2-4.

L'entreprise réalise des bénéfices qu'elle verse en partie à ses employés. La direction en négocie la répartition avec les représentants des salariés.

Deux propositions sont faites :

\emph{Proposition} A : Chaque salarié reçoit une prime annuelle égale à 140\,\% de son salaire mensuel.

\emph{Proposition} B : Chaque salarié reçoit une prime annuelle composée d'un montant fixe de \np{6000} francs auquel s'ajoute une partie variable égale à 30\,\% du salaire mensuel.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un employé a un salaire mensuel de \np{5000}~francs. Quelle prime recevra-t-il :
	\begin{enumerate}
		\item dans le cas de la proposition A ?
		\item dans le cas de la proposition B ?
	\end{enumerate}	
\item On désigne par $x$ le salaire mensuel et par $y$ la prime. Écrire
$y$ en fonction de $x$.
	\begin{enumerate}
		\item Dans le cas de la proposition A.
		\item Dans le cas de la proposition B.
		\item En utilisant les formules obtenues, retrouver les résultats de
la question précédente.
	\end{enumerate}
\item Construire un repère orthonormal sur papier millimétré, sur chacun des axes (1 cm correspond à \np{1000}).
	\begin{enumerate}
		\item Construire dans ce repère les droites d'équation
		
\[\begin{array}{l c l}
y &=& 1,4x \:\text{et}\\
y &=& 0,3x + \np{6000}.
\end{array}
\]
		\item Utiliser ces représentations pour déterminer approximativement les coordonnées du point d'intersection de ces droites.
		\item Calculer la valeur, au centième près, des coordonnées de ce point d'intersection.
		\end{enumerate}	
\item Utiliser les résultats de la question 3. pour déterminer le montant du salaire mensuel pour lequel les propositions A et B donneraient des primes égales.
\end{enumerate}
\end{document}