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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1993}
\rfoot{\small Lyon}
\lfoot{\small juin 1993}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Lyon juin 1993 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\[A = \dfrac{ 8 + \dfrac23}{ 8 - \dfrac23}, \quad 
B = \dfrac{10^5 \times 2 \times 10-3}{ 5 \times 10^4}, \quad C = \left(\sqrt 3\right)^2 - \left(\dfrac13\right)^2\]

Calculer $A, B$ et $C$.

Pour $A$ et $C$, donner la valeur arrondie au millième.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser l'expression 

\[A = x^2 - 16x + 64.\]

\item Calculer la valeur prise par $A$ pour $x = - 3$, pour $x = 0,3$ puis
pour $x = 8$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

$F = (x - 3)(x + 7) - (2x - 7)(x - 3)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser l'expression $F$.
\item Développer et réduire $F$.
\item Résoudre l'équation: $(x - 3)( -x + 14) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Alexandre et Julien ont chacun une collection de timbres.

Alexandre a 80 timbres de plus que Julien. 

Lorsqu'Alexandre aura ajouté 60 timbres à sa collection et que Julien aura triplé la sienne, alors ils auront le même nombre de timbres.

Combien chacun a-t-il de timbres au départ ?

\bigskip

\textbf{\Large Travaux géométriques}

\medskip

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne un cercle (C) de centre O et de rayon 4 cm et un diamètre [AB] de ce cercle. 

M est un point du cercle (C) tel que AM $= 5$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire un dessin. Quelle est la nature du triangle AMB ? (Justifier la réponse)
\item Soit E le milieu de [OB]. La droite passant par E et perpendiculaire à la droite (BM), coupe la droite (BM) en un point F.

 Montrer que les droites (AM) et (EF) sont parallèles.
\item Calculer EF.
\end{enumerate}


\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.8,-0.5)(4,3.1)
\psaxes[Dx=10,Dy=10](0,0)(-2.8,-0.5)(4,3.1)
\psline(-1.9,0.1)(-1.9,-0.1)\psline(-0.1,2.9)(0.1,2.9)\psline(3.8,0.1)(3.8,-0.1)
\psframe(0,0)(0.2,0.2)
\uput[dl](0,0){A}\uput[d](3.8,0){B}\uput[d](-1.9,0){C}\uput[l](0,2.9){E}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Sur la figure, C, A, B sont trois points alignés dans cet ordre tels que CA $= 2$~cm, AB $= 4$~cm.

E est un point de la droite passant par A et perpendiculaire à la droite (CB) tel que AE $= 3$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire la figure sur la copie.
\item Calculer les valeurs exactes de EB et EC.
\item Le triangle CEB est-il rectangle en E ? (Justifier la réponse).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Ci-après, est tracé un rectangle ABCD noté $\mathcal{R}$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.2,2.5)
\psframe(0.2,0.2)(3.7,2.2)
\uput[dl](0.2,0.2){A}\uput[dr](3.7,0.2){B}\uput[ur](3.7,2.2){C}\uput[ul](0.2,2.2){D}
\rput(1.95,1.2){$\mathcal{R}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Construire $\mathcal{R}_1$ symétrique de $\mathcal{R}$ par rapport au point B.
\item Construire $\mathcal{R}_2$ symétrique de $\mathcal{R}$ par rapport à la droite (AC).
\item Construire $\mathcal{R}_3$ transformé de $\mathcal{R}$ dans la translation de vecteur
$\vect{\text{AC}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

\textbf{A. Questions préliminaire}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthogonal. 

Utiliser une feuille de papier millimétré et prendre pour unités: 1 cm sur l'axe des abscisses gradué de 0 à 10 et 0,5 cm sur l'axe des ordonnées gradué de 0 à $32$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer les droites $\Delta$ et $\Delta'$ d'équations: 

\[\Delta :\quad y = 3x + 9, \qquad  \Delta' :\quad   y = 5x\]

\item Calculer les coordonnées du point d'intersection des deux droites $\Delta$ et $\Delta'$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. }

\medskip

Une entreprise, pour promouvoir ses produits, hésite entre deux supports publicitaires : un solide $S$ et un solide $S'$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10.4,6.8)
\psframe(0.2,0.5)(3.2,1.2)%ABFE
\psline(3.2,0.5)(4.2,2)(4.2,2.7)(3.2,1.2)%BCGF
\psline(0.2,1.2)(2.2,6.2)(3.2,1.2)(4.2,2.7)(2.2,6.2)%EPFGP
\pspolygon[linestyle=dashed](0.2,1.2)(4.2,2.7)(1.2,2.7)%EGH
\pspolygon[linestyle=dashed](0.2,0.5)(1.2,2)(4.2,2)%ADC
\psline[linestyle=dashed](2.2,6.2)(2.2,1.95)%PK
\psline[linestyle=dashed](1.2,2)(1.2,2.7)(3.2,1.2)%DHF
\psline[linestyle=dashed](1.2,2.7)(2.2,1.95)%HP
\uput[dl](0.2,0.5){A}\uput[dr](3.2,0.5){B}\uput[ur](4.2,2){C}\uput[ul](1.2,2){D}
\uput[ul](0.2,1.2){E}\uput[r](3.2,1.2){F}\uput[ul](4.2,2.7){G}\uput[ul](1.2,2.7){H}
\uput[ur](2.2,1.95){K} \uput[u](2.2,6.2){P}
\rput(1.7,0.1){Solide $S$}
%%%%%%%
\psframe(6.3,0.5)(9.8,4.5)%TUZX
\psline(9.8,4.5)(7.4,6)(6.3,4.5)%ZYX
\psline[linestyle=dashed](6.3,0.5)(7.4,2)(9.8,0.5)%UWT
\psline[linestyle=dashed](7.4,2)(7.4,6)%WY
\uput[l](6.3,4.5){X}\uput[u](7.4,6){Y}\uput[r](9.8,4.5){Z}
\uput[l](6.3,0.5){T}\uput[r](9.8,0.5){U}\uput[ur](7.4,2){W}
\rput(8.05,0.1){Solide $S'$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Description du solide $S$ :

Le solide $S$ est constitué d'un parallélépipède rectangle ABCDEFGH à base carrée ABCD surmonté d'une pyramide de sommet P, de base EFGH et de hauteur [PK] où K est le centre du carré EFGH.

On donne AB $= 3$ cm et AE $= 1$~cm. On note $x$ en centimètre la hauteur PK.

Dans cette question $x = 5$~cm. 

Calculer le volume du solide S en utilisant éventuellement le formulaire.
\item Description du solide $S'$ :

Le solide $S'$est un prisme droit dont la base est un triangle TUW rectangle en W.

On donne WT $= 2$~cm et WU $= 5$~cm. 

La hauteur du solide $S'$ est égale à la hauteur $x$ de la pyramide du solide $S$.

\item Dans cette question $x = 5$ cm.

Calculer le volume du solide $S'$ en utilisant éventuellement le formulaire.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le volume $V$ du solide $S$ s'exprime, en fonction de $x$, par $V = 3x + 9$.
		\item Montrer que le volume $V'$ du solide $S'$ s'exprime en fonction de $x$, par $V' = 5x$.
		\item Pour quelle valeur de $x$ le volume du solide $S$ est-il égal à $30$~cm$^3$ ? 
		
Comment peut-on retrouver cette valeur graphiquement ?
		\item En utilisant les résultats des questions préliminaires, indiquer la valeur de $x$ pour laquelle les solides $S$ et $S'$ ont le même volume et donner ce volume.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	

\emph{Formulaire} : Le volume d'un prisme droit est donné par la formule :
\begin{center}
(aire de la base) $\times$ hauteur\end{center}

Le volume d'une pyramide est donné par la formule :

\[\dfrac{\text{(aire de la base)} \times  \text{hauteur}}{ 3}\]

\end{document}