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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1994}
\rfoot{\small Lyon}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Lyon juin 1994 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\emph{Les détails des calculs doivent figurer sur la copie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $A = \dfrac{30 \times 2^2 - 5^2 \times 4}{4 \times 10^{-2}}$.

\item Calculer $B = \dfrac{23}{12} + \dfrac{5}{9} - 1$.

Donner le résultat sous la forme $\dfrac{a}{b}$ où $a$ et $b$ sont des entiers, 
puis la valeur arrondie au dixième.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère expression: $E = \dfrac{2xy}{x^2 + y^2}$.

Calculer $E$ lorsque $x =0,2$ et $y =0,5$ ; donner le résultat sous
la forme $\dfrac{a}{b}$ où $a$ et $b$ sont des entiers.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $x^2 - 6x$.
\item Résoudre les équations suivantes : 

$3x (x - 4) = 0$.

$\dfrac23 x + \dfrac56 = 0.$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Sachant que $C= \sqrt 3 - 2\sqrt 5$ et $D = 5\sqrt 5 - \sqrt 3$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $C + D$. Donner le résultat sous la forme $a\sqrt 5$ où $a$ est un entier.
\item Calculer $C^2$ et $C \times D$. Donner chaque résultat sous la forme
$p + q\sqrt 5$ où $p$ et $q$ sont des entiers.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

Dans la cour de la ferme il y a des poules (elles ont deux pattes) et des lapins (ils ont quatre pattes 

J'ai compté $40$ têtes et $106$ pattes.

Combien y a-t-il de poules et de lapins ?

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dessiner sur votre feuille de copie un triangle EFG tel que FG $= 6$ cm, EG $= 5$ cm et EF~$=~4$ cm, puis marquer le point H tel que $\vect{\text{EH}} = \vect{\text{FG}}$.
\item Quelle est la nature du quadrilatère EFGH ?
\item Recopier et compléter les égalités suivantes en utilisant les
points déjà nommés:

$\vect{\text{FE}} = \ldots \ldots ;\quad \vect{\text{FG}} + \vect{\text{GE}} = \ldots  ; \quad \vect{\text{GE}} + \ldots\ldots = \vect{\text{GH}}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur une demi-page de papier millimétré, construire un repère orthonormal de centre O (unité 1 cm).

Marquer les points A (6~;~3) et B (6~;~0).

Tracer les droites (OA) et (AB).
\item Écrire une équation de la droite (AB).
\item Écrire une équation de la droite (OA).
\item Soit M (2,5~;~4).

Calculer les coordonnées du point P milieu de [BM].
\item Le point P est-il sur la droite (OA) ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

La figure numéro 1 représente un cône de révolution en perspective. 

La figure numéro 2 représente son patron (ou développement).

Le rayon du secteur circulaire est $9,1$ cm. Le rayon du disque de base est $3,5$ cm.

Calculer la hauteur SH du cône.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9,5)
\psellipse(1.4,1.3)(1,0.4)
\psline(0.4,1.3)(1.4,3.9)(2.4,1.3)
\psline(1.4,3.9)(1.4,1.3)
\psline[linestyle=dashed](1.4,1.3)(0.4,1.3)
\uput[l](0.4,1.3){A} \uput[u](1.4,3.9){S} \uput[r](1.4,1.3){H} 
\pscircle(4,1.5){1.1}
\psline(4,1.5)(2.9,1.5)
\uput[d](3.5,1.5){3,5 cm}
\pswedge(6.2,4.7){2.8}{190}{340}
\uput[ur](7.4,4.23){9,1 cm}
\rput(1.4,0.2){Figure \no 1} \rput(6,0.2){Figure \no 2}
\end{pspicture}
\end{center}
\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur une demi-page de papier millimétré dessiner le triangle isocèle ABC de base [BC] et de hauteur [AH], sachant que
BC $= 12$ cm et AH $= 8$ cm.
\item Démontrer que AB = 10 cm.
\item Calculer la valeur exacte du cosinus de l'angle $\widehat{\text{ABH}}$.
\item Sur le segment [BC] marquer le point O tel que BO =5 cm. 

Tracer le cercle de centre P et qui passe par B.

Ce cercle recoupe [AB] en M et [BC] en D.

Démontrer que le triangle BMD est rectangle en M.
\item En utilisant la valeur du cosinus de l'angle $\widehat{\text{ABH}}$ que vous avez trouvée à la question 3., montrer que BM a pour longueur $6$~cm.
\item Démontrer que la longueur DM est égale à $8$ cm.
\item La hauteur, issue de C du triangle ABC coupe [AB] en K.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que (CK) et (DM) sont parallèles.
		\item Calculer la longueur CK.
	\end{enumerate}	
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Les droites (DM) et (AH) se coupent en I. 
		
Que représente le point I pour le triangle ABD ?
		\item La droite (BI) coupe (AD) en J. 
		
Démontrer que (BJ) est perpendiculaire à (AD).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}