\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage[mathscr]{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Lyon septembre 1951},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Lyon}}
\rfoot{\small{septembre 1951}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Lyon septembre 1951~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire les droites représentatives des fonctions 
\begin{center}$y = - \dfrac x2 + 3$,\quad droite $(D)$, et $y = - \dfrac{3x}{2} + 1$,\quad droite $(D')$\end{center}

\item On désigne par A le point d'intersection de ces deux droites et respectivement par B et C.les points de ces droites $D$ et $D'$ dont l'ordonnée est égale à $+ 1$ et l'on construit le parallélogramme ABMC.

Quelles sont les coordonnées de A?

Quelles sont les équations des droites qui portent les côtés [BM] et [CM] et quelles sont les coordonnées de M ?
\item Déterminer les coordonnées du milieu de [BC] et du
milieu de [AM].

Pouvait-on prévoir le résultat obtenu ? 
\item Trouver l'aire du parallélogramme ABMC.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

Deux droites $x'x$,\: $y'y$ se coupent à angle droit en un point O.

On porte sur O$x$ un segment [OA] de 24 mm et sur O$y'$ un segment [OA$'$] de  $16$ mm.

Puis on trace le cercle de centre A, de rayon $48$ mm, qui coupe la demi-droite O$y$ en B et le cercle de centre A$'$, de rayon $32$~mm, qui coupe la demi-droite O$x'$ en B$'$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les triangles OAB, OA$'$B$'$ sont semblables.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On trace la médiane O~f du triangle OAB dont le prolongement coupe (A$'$B$'$) en un point P; démontrer que [OP] est la hauteur du triangle OA$'$B$'$.
		\item On trace la hauteur [OH] du triangle OAB dont le prolongement coupe A$'$B$'$ en un point Q ; démontrer que [OQ] est la médiane du triangle OA$'$B$'$.
	\end{enumerate}	
\item Que peut-on dire du quadrilatère ABB$'$A$'$ ?

Évaluer son aire.
\end{enumerate}
\end{document}