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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Lyon}}
\rfoot{\small{septembre 1954}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Lyon\:septembre 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\textbf{I.}

\medskip

Établir l'identité
\[(x+y)^2 -(x - y)^2 = 4xy.\]

\medskip

\textbf{II.}

\medskip
\begin{enumerate}
\item On donne le système
\[\left\{\begin{array}{l c l}
xy& = &36,\\
x-y &=& 5.
\end{array}\right.\]
Calculer $x + y$, puis, $x$ et $y$.
\item Soient un cercle de centre O, de rayon $5$~cm, T un de ses points.

On marque sur la tangente en T un point A tel que TA $= 6$~cm.

Une sécante menée par A coupe le cercle en P et Q de façon que le triangle OPQ soit équilatéral.

Calculer AP et AQ.
\item On mène par A une deuxième sécante, ARS.

Le milieu I de [RS] est tel que AI $= 6,25$ cm.

Calculer les mesures des segments [RS], [AR] et [AS].
\end{enumerate}

\medskip

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On considère un triangle ABC dans lequel l'angle $\widehat{\text{B}}$ est le double de l'angle $\widehat{\text{C}}$.

La bissectrice intérieure de l'angle $\widehat{\text{B}}$ coupe en D le côté [AC] et en E le cercle circonscrit au triangle ABC.

On pose BC $= a$, CA $= b$, AB $= c$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Que peut-on dire du quadrilatère BAEC ?

Écrire toutes les égalités de segments de la figure formée par les cinq points A, B, C, D, E.

Montrer sans construction nouvelle que $\dfrac{\text{DA}}{\text{DC}} = \dfrac ca$.
\item Démontrer la similitude des triangles ABC et ADB.

En déduire les expressions de DA et DC en fonction de $a,\: b,\: c$.
\item En utilisant le fait que D est sur le segment [AC],
montrer qu'il existe une relation entre $a,\: b,\: c$.
\item $b$ et $c$ étant donnés, on calcule $a$ à l'aide de la relation précédente.

Quelles inégalités doivent vérifier $b$ et $c$ pour qu'il existe un triangle dont les côtés ont
pour mesure les trois nombres $a,\: b,\: c$ ?
\end{enumerate}
\end{document}