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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Lyon}}
\rfoot{\small{septembre 1956}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Lyon\: septembre 1956}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On considère un trapèze rectangle ABCD
\begin{center}$\left(\widehat{\text{A}} = \widehat{\text{D}}= 1\: \text{droit}\right)$\end{center}
tel que AB $= 4$ cm; CD $= 6$ cm; AD $= 5$ cm.

Soit M un point de [AD] ; on pose AM $= x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Évaluer:
	\begin{enumerate}
		\item l'aire $y_1$ du triangle ABM ;
		\item l'aire $y_2$ du triangle MCD ;
		\item l'aire $y_3$ du triangle BMC.
	\end{enumerate}
\item Représenter sur un même graphique les variations des trois fonctions obtenues, M ne pouvant se déplacer qu'entre A et D.
\item Déterminer $x$ de façon que les triangles ABM et MCD soient équivalents (solution graphique et solution algébrique).
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Étant donnés trois points A, B, C alignés et dans cet ordre, on considère le demi-cercle de diamètre [BC] et de centre O, et une sécante variable (AMN) passant par A et coupant le demi-cercle en M et N.

Par O on mène la demi-droite [O$x$) perpendiculaire à (BC) en O et coupant le demi-cercle.

[O$x$) est coupée en P par (CM) et en Q par (CN).

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les quatre points B, O, P, M sont sur un même cercle.

En déduire que 
\begin{center}CO $\cdot$ CB = CM $\cdot$ CP.\end{center}
\item Démontrer que les quatre points B, O, Q, N sont sur un même cercle.

En déduire que 
\begin{center}CO $\cdot$ CB = CN $\cdot$ CQ.\end{center}
\item En considérant les deux égalités précédentes, montrer que les quatre points M, N, P, Q sont sur un même cercle.
\item La demi-droite [O$x$) coupe le demi-cercle en D.

Montrer que 
\begin{center}$\overline{\text{CD}}^2 =$ CO $\times$ CB.\end{center}

Montrer que les cercles circonscrits aux triangles MPD et NQD sont tangents en D à la droite (CD).
\end{enumerate}
\end{document}