\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B.E.P.C.},
pdftitle = {Lyon septembre 1958},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Lyon}}
\rfoot{\small{septembre 1958}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Lyon septembre 1958}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier l'identité 
\[(x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy.\]

\item L'aire d'un rectangle est $588$ m$^2$ et la longueur $x$ surpasse la largeur $y$ de $7$~mètres.

À l'aide de l'identité précédente, déterminer le demi-périmètre $p$ du rectangle.
\item Calculer la longueur des côtés $x$ et $y$ et celles des diagonales de ce rectangle.
\item En donnant à $p$ la valeur trouvée, représenter sur un même graphique la fonction $y = x - 7$  et $y = p- x$.

Retrouver à l'aide du graphique les dimensions du rectangle.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Deux cercles $\mathcal{C}$ de centres O et $\mathcal{C}'$ de centre O$'$ sont tangents extérieurement en A.

Soient (AT) la tangente commune intérieure et (MN) une tangente commune extérieure qui touche le cercle $\mathcal{C}$ en M et le cercle $\mathcal{C}'$ en N. 

(AT) et (MN) se coupent en P.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer la longueur des segments [PM], [PA] et [PN].

Montrer que le triangle MAN est rectangle.
\item On trace le diamètre [MR] du cercle $\mathcal{C}$ et le diamètre [NS] du cercle $\mathcal{C}'$.

Montrer que les points R, A, N sont alignés, ainsi que les points S, A, M.

Nature du quadrilatère NMRS.
\item Démontrer la relation 
\begin{center}MN$^2 =$ MR $\times$ NS.\end{center}

Calculer la longueur des côtés et l'aire du quadrilatère NMRS dans le cas où les diamètres de $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ mesurent respectivement $9$~cm et $4$~cm.
\end{enumerate}
\end{document}