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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Lyon}}
\rfoot{\small{septembre 1959}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle septembre 1959~\decofourright\\[7pt]
Lyon}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip
%\medskip

\begin{enumerate}
\item Les côtés $a, b, c$, d'un triangle ABC sont proportionnels aux nombres 7, 5, 4.

Le périmètre du triangle est $32$~cm.

Calculer les côtés de ce triangle.
\item Construire le triangle ABC (on rappelle que BC $= a$, AC $= b$, AB $= c$).

Par un point D du segment [AB], on mène la parallèle à (BC) ; cette droite coupe le
côté [AC] au point E.

Par le point D on mène la parallèle à (AC) ; cette droite coupe le côté [BC] au point F.

On pose AD $= x$. Exprimer, en fonction de $x$, la longueur $y_1$ du segment [DE] et la longueur $y_2$ du segment [DF].
\item Représenter graphiquement les variations de $y_1$ et $y_2$ en fonction de $x$.
\item Déterminer, par le calcul et par le graphique, le nombre $x$ pour que le parallélogramme DECF soit un losange.
\end{enumerate}

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne un triangle ABC, rectangle en A ; l'angle $\widehat{\text{C}}$
mesure $30\degres$.

L'hypoténuse [BC] est mesurée, en centimètres, par $a$.

On trace le cercle $\mathcal{C}$ de centre O, tangent en B à l'hypoténuse et passant par A, et le cercle $\mathcal{C}'$ de centre O$'$, tangent en C à l'hypoténuse et passant par A.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire la figure et indiquer, en la justifiant, la construction des points O et O$'$.

Démontrer que les points O,  A, O$'$ sont alignés ; en déduire que les cercles sont tangents en A.
\item On mène la tangente commune en A aux deux cercles.

Elle coupe l'hypoténuse en M.

Démontrer que M est le milieu de [BC].
\item Calculer, en fonction de $a$, les rayons $R$ et $R'$ des cercles $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$.
\item Soit A$x$ la perpendiculaire en A au plan du triangle ABC.

On porte sur A$x$ le segment [AI] tel que  AI $= \dfrac a2$.

Montrer que IM = IB et que le triangle O$'$IO est rectangle.
\end{enumerate}
\end{document}