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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Lyon septembre 1961~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer en produits de facteurs les expressions 
\begin{center}$3x^2 - 12$\quad  et\quad  $(x - 3) (8x + 2)- (2x - 6) (x - 5)$.\end{center}
\item Simplifier la fraction
\[F(x) = \dfrac{3x^2 - 12}{(x - 3) (8x + 2)- (2x - 6) (x - 5)}\]

et calculer sa valeur numérique pour $x = 3$ et $x = \sqrt 2$.
\item Représenter sur le même graphique les variations des fonctions
\begin{center}$y_1 = x - 2,\qquad  y_2 = 2x - 6$\end{center}
et, à l'aide du graphique, déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles la fraction $F(x)$ est égale :
	\begin{enumerate}
		\item à \quad 1 ;
		\item à \quad $\dfrac12$.
	\end{enumerate}	
Vérifier ces résultats par le calcul.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soient un segment [AB] et le point I de [AB] tel que
\[\dfrac {\overline{\text{IA}}}{\overline{\text{IB}}} = - \dfrac12.\]

Par A, B, I, on mène trois axes parallèles et de même sens, $x'\text{A}x,\: y'\text{B}y,\: z'\text{I}z$.

Sur $x'\text{A}x$, on place le :point M tel que AM $= a$, sur $y'\text{B}y$, on place le point N tel que BN $= b$.

(HM) et (AN) coupent $z'\text{I}z$ en P et Q.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $\overline{\text{IP}}, \overline{\text{IQ}},\: \overline{\text{PQ}},\: \dfrac {\overline{\text{IP}}}{\overline{\text{IQ}}}$ en fonction de $a$ et $b$.
\item Calculer le rapport $\dfrac ab$ pour que Q soit milieu de [IP].

Faire la figure correspondante.
\item Calculer le rapport $\dfrac ab$ pour que I soit milieu de [PQ].

Faire la figure correspondante.
\end{enumerate}
\end{document}