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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Lyon septembre 1963~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre algébriquement, puis graphiquement (unité : 0,5 cm) le système suivant:
\[ \left\{\begin{array}{l l c l}
(1)& 4x + \phantom{4}y&=& 10,\\
(2)& - x + 4y &=& 6.
\end{array}\right.\]

Comparer les résultats.
\item Soient $\left(D_1\right)$ la droite d'équation (1) et $\left(D_2\right)$ la droite d'équation (2).

La droite $\left(D_2\right)$ coupe $y'y$ en B.

Trouver l'équation de la parallèle menée par le point B à la droite $\left(D_1\right)$.
\item La droite $\left(D_1\right)$ coupe $\left(D_2\right)$ en A et $y'y$ en C.

Démontrer, en utilisant une relation métrique, que le triangle ABC est rectangle en A.
\item Trouver l'équation de la médiane [AM] de ce triangle.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne un cercle de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$.

Du centre, O, on mène la perpendiculaire à (AB), qui coupe en K l'un des demi-cercles.

Sur le prolongement de [KO], au-delà de O, on porte le segment [OD] tel que OD $= \dfrac{R}{2}$.

La droite (AD) recoupe le cercle en C. On trace [BC].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, en fonction de $R$, la longueur du segment [AD].

Démontrer la similitude des triangles ABC et AOD ; en déduire la longueur des segments [BC], [AC] et [DC].
\item On trace la tangente au cercle au point B.

Cette droite coupe la droite (AC) en I.

Calculer IB, IA et IC.
\item Montrer que le quadrilatère ODCB est inscriptible dans un cercle.

Préciser le diamètre et le centre de ce cercle.

Calculer son rayon.

On trace la droite (CK), qui coupe (AB) en P{}.

Montrer que (CK) est bissectrice de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$.
\end{enumerate}
\end{document}