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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1967}
\rfoot{\small Lyon}
\lfoot{\small septembre 1967}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Lyon septembre 1967 \footnote{Besançon, Dijon et Grenoble}\decofourright}}

\vspace{1cm}

\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sous forme d'un produit de facteurs du premier degré l'expression
\[A(x) = \left(x^2 - 49\right)(2x + 5) - \left(4x^2 + 28\right)(x - 7).\]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Simplifier la fraction 
\[F(x) = \dfrac{-2 A(x)}{(x + 7) \left(x^2 - 14x + 49\right)}\]

$A(x)$ désignant l'expression de la question 1.

Pour quelles valeurs de $x$ cette simplification est-elle légitime ?
		\item Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $F(x) = 0$ ?
		\item Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $F(x) = 1$ ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire les droites, $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$, qui représentent les variations des fonctions
\begin{center}$y_1 = 2x + 1$, \qquad $y_2 = - \dfrac12 x + \dfrac72$.\end{center}
		\item Trouver, graphiquement et par le calcul, les coordonnées du point I d'intersection de ces deux droites
		\item Expliquer le résultat en comparant avec 2. c.
		\item Que peut-on dire des droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Les cotes sont en millimètres.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire, en précisant l'ordre des opérations effectuées, un triangle ABC rectangle en A tel que AB $= 45$ et BC $= 75$.
\item Calculer la longueur du côté [AC].
\item Sur la demi-droite [BA) on porte D tel que BD $= 85$ et sur le segment [BC], on porte R tel que BE $= 51$.

Démontrer que les triangles ABC et BDE sont semblables.
\item Calculer DE et établir la relation 
\begin{center}BE $\cdot$ BC = BA $\cdot$ BD.\end{center}
\item Démontrer que les quatre points D, A, E, C sont sur un même cercle, dont on précisera le centre O 
et le rayon $R$ ; (la valeur trouvée sera laissée sous forme d'un nombre irrationnel le plus simple possible).
\item Calculer la distance BO (préciser cette valeur à $\dfrac{1}{100}$ près par défaut).
\end{enumerate}
\end{document}