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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Lyon septembre 1968~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

On considère l'expression algébrique 
\[A(x) = (x - y)\left(x^2 + xy + y^2\right).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Effectuer l'opération et écrire $A(x)$ sous forme d'un
polynôme réduit.
\item Le polynôme obtenu est-il homogène ? Justifier votre réponse.
\item Utiliser les résultats obtenus précédemment pour mettre l'expression $B(x) = x^3 - 8$ sous forme d'un produit de deux facteurs.
\item Mettre sous forme d'un produit de deux facteurs l'expression
\[C(x) =(2x - 3)(x + 1)^2 + 6x + 9.\]

\item Simplifier l'expression $E(x) = \dfrac{B(x)}{C(x)}$.

Cette simplification est-elle toujours possible ? Si oui, dire pourquoi.
\item Soit $E_1(x)$ l'expression obtenue après simplification
de $E(x)$.

Pour quelle valeur de $x$ l'expression $E_1(x)$ n'est-elle
pas définie ?

Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $E_1(x) = 0$ ?

Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $E_1(x) = 1$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit ABC un triangle équilatéral de côté $a$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel doit-être en fonction de $a$ le rayon d'un cercle de centre C pour que ce cercle soit tangent à [AB] ?

On appellera M le point de tangence.
\item De A, on abaisse la perpendiculaire [AH] à (BC).

Elle coupe le cercle de centre C et de rayon CM en deux points P et Q, P étant situé entre A et H.

Déterminer la valeur du produit AP $\cdot$ AQ en fonction de $a$.
\item On prolonge [HA] d'un segment [HA$'$] tel que HA$' =$ HA.

De A$'$ on mène les perpendiculaires A$'$R au prolongement de [AB] et A$'$S au prolongement de [AC].

Montrer que A$'$R = A$'$H = A$'$S.

En conclure que les points R, H, S sont situés sur un même cercle, dont on précisera le centre et le rayon,
et que. ce cercle est tangent à (BC) et aux prolongements de [AB] et [AC].
\item Déterminer en fonction de $a$ la puissance du point A$'$ par rapport au cercle de centre C et de rayon CM.
\end{enumerate}
\end{document}