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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Lyon}}
\rfoot{\small{septembre 1969}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Lyon septembre 1969}}

\medskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système
\[\left\{\begin{array}{l c l}
2x +y &=& 4,\\
x +2y &=& 8.
\end{array}\right.\]
\item On donne un repère orthonormé \footnote{ Axes rectangulaires, sur lesquels les vecteurs unitaires ont la même longueur.} ; la longueur commune des vecteurs unitaires est 1 cm. 

Tracer les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_1\right)$ dont les équations sont
\[\left\{\begin{array}{l l c l}
\left(D_1\right)& y &=&- 2x + 4,\\
\left(D_2\right)& y &=&- \dfrac x2 + 4
\end{array}\right.\]

Retrouver sur le graphique les résultats de la question 1.
\item Les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_1\right)$ se coupent en T, l'axe $x'\text{O}x$ coupe respectivement les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_1\right)$ aux points A et B.

Vérifier la relation 
\begin{center}OT$^2 =$ OA $\times$ OB.\end{center}

Que peut-on en conclure pour le cercle circonscrit au triangle TAB ?
\item Calculer les longueurs des côtés du triangle TAB.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

On trace un carré ABCD de côté $a$ et l'on construit le triangle équilatéral dont un côté est la diagonale AC et dont le troisième sommet, E, est situé du côté de B.

Soit O le milieu de [AC].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que E, B, O et D sont alignés.
\item Calculer BE en fonction de $a$.
\item Montrer que 
\begin{center}EB $\cdot$ ED = AB$^2$.\end{center}
\item On mène de E la tangente (EP) au cercle circonscrit au carré.

Montrer que EP $= a$.
\end{enumerate}
\end{document}