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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Lyon septembre 1972~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On donne les expressions $A$ et $B$ suivantes :
\[\begin{array}{l c l}
A&=& (4- 2x)^2 - (x - 3)^2\:\text{et}\\
B& =& (x - 6)(3x - 4) +(6 - x)(2x - 3).
\end{array}\]
\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Mettre $A$ et $B$ sous forme de produits de facteurs du premier degré.
		\item Résoudre l'équation $A = 0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Simplifier la fraction $F = \dfrac AB$.
		\item Calculer la valeur numérique de $F$ pour $x = \sqrt 2$, pour $x = 1$.
		\item Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $F = 1$ ?
		
\item Dans un repère orthonormé on trace la droite d'équation $y = x - 6$.
	\end{enumerate}
Déterminer l'équation de la droite qui passe par C de
coordonnées $(2~;~- 1)$ et perpendiculaire à la droite
d'équation $y = -\dfrac13 x + 2$.

Retrouver graphiquement le résultat de la question 2. c.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On donne les points A, C et B alignés dans cet ordre
tels que AC $= x$ et CB $= 3x$.

On construit l'angle $\widehat{\text{CAy}}$, de $60\degres$.

La droite A$y$ coupe en D la perpendiculaire en C à (AB).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les longueurs des segments [AD], [DC] et [DB].

En déduire la nature du triangle (ADB).

Montrer que (AD) est tangente au cercle de centre O et de diamètre [DB].
\item La bissectrice de l'angle $\widehat{\text{CDB}}$ coupe (CB) en K et
le cercle en F.

Calculer les longueurs de [KC], [KB] et [KD] et la
puissance de K par rapport au cercle de centre O.

En déduire la longueur du segment [KO].
\item Soit E le milieu de l'arc $\widearc{\text{DB}}$ ne contenant pas F.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points K, O et E sont alignés.
		\item Que représente (CE) pour le triangle (DCB) ?
		
Où le centre du cercle inscrit dans le triangle (DCB) se trouve-t-il ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}