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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Lyon septembre 1973~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $f$ et $g$ sont deux applications polynômes dans $\R$ telles que
\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=& x^2 - 9 + (x - 3)(2x - 7)- (6 - 2x) \:\text{et}\\ 
g(x) &=& 9x^2 - 4.
\end{array}\]

Calculer $f(0),\:f(1),\:f\left(\sqrt 2\right), \:g\left(-\dfrac12\right)$ et $g\left(\sqrt 3\right)$.
\item $h$ est la fonction rationnelle définie par 
\[h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]

Quel est son ensemble de définition ?

Factoriser $f(x)$ et donner l'écriture simplifiée de $h(x)$.

\item Résoudre dans $\R$ les équations suivantes: 
	\begin{enumerate}
		\item $h(x) = 0$,
		\item $h(x) = 1$,
		\item $f(x) = 0$,
		\item $g(x) = 1$.
	\end{enumerate}
\item Choisir un repère orthonormé du plan et construire les représentations graphiques des applications affines $m$ et $p$ suivantes :

\begin{center}$m(x) = x - 3$\quad et\quad $p(x) = 3x + 2$.\end{center}

Retrouver graphiquement la solution de l'équation
\[h(x) = 1.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij{} placer les points suivants :
\begin{center}A(3~;~2),\quad  B$(- 2~;~- 3)$ \quad et\quad  C$(3~;~- 3)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle (A, B, C) est rectangle et isocèle.
\item M est le milieu de l'hypoténuse (A, B).

Démontrer que les points O, M et C, sont alignés.
\item Déterminer les coordonnées du point G tel que 
\[3\vect{\text{CM}} + \vect{\text{BM}} = \vect{\text{BG}}.\]

\item Démontrer que le triangle (B, G, A) est isocèle.

Que représente alors la droite (GC) pour le segment [AB] ?
\item En déduire la distance du point G à la droite (AB).
\item La droite $\left(d_1\right)$ parallèle à la droite (BC) et passant par A coupe la droite (BG) en E.

Donner une équation de la droite $\left(d_1\right)$, puis une équation de la droite (BG) et montrer que E est le milieu de (B, G).
\end{enumerate}
\end{document}