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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Lyon septembre 1975~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\textbf{Algèbre}\end{center}

\smallskip

Soit $f$ l'application de $\R$ dans $\R$ définie par :
\[f(x) = \dfrac{x - 2}{4} + \dfrac13 - x + \dfrac{2x - 1}{3}.\]

\begin{enumerate}
\item Mettre $f(x)$ sous la forme $- \dfrac{1}{12}x  - \dfrac12$ en détaillant les calculs intermédiaires.
\item Résoudre  l'équation dans $\R$, définie par :
\[f(x) = 0.\]

\item Soit $g$ l'application de $\R$ dans $\R$, définie par:
\[g(x) = \dfrac{x + 5}{4}.\]

Quel est l'ensemble des réels $x$ tels que : $f(x) \leqslant g(x)$ ?
\item Soit $h$ la fonction rationnelle de $\R$ dans $\R$ définie par :
\[h(x) = \dfrac{x^2 + 12 + 36}{f(x) \times g(x)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Trouver l'ensemble de définition de $h$ .
		\item Simplifier $h(x)$.
		\item Résoudre  dans R l'équation :
\[h(x) = 0.\]
	\end{enumerate}
\item Construire dans un repère orthonormé les représentations graphiques de fonctions $f$ et $g$.

Calculer les coordonnées du point d'intersection des deux droites obtenues.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Géométrie}\end{center}

\smallskip

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij{} on considère le
points A et B de coordonnées 
\begin{center}A$(- 2~;~4)$, \qquad  B(4~;~- 8).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les points A, B et O sont alignés,
\item Déterminer les coordonnées du milieu I du segment [AB].
\item Soit $\Delta$ la médiatrice du segment [AB].

Montrer qu'une équation de $\Delta$ est : $x - 2y = 5$.

En déduire les coordonnées du point C, intersection de $\Delta$ et de la droite .
déterminée par le point O et le vecteur directeur $\vect{\imath}$ (c'est-à-dire le premier axe de coordonnées).
\item On appelle D le symétrique du point C par rapport à I.

Déterminer les coordonnées de D.

Que peut-on dire du quadruplet (A, C, B, D) ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{N. B .}

$\bullet~~$Il est demandé de faire une figure précise.

$\bullet~~$La quatrième question est indépendante de la troisième.
\end{document}