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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1976}
\rfoot{\small Lyon}
\lfoot{\small septembre 1976}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Lyon septembre 1976 \decofourright}}

\bigskip

\textbf{I}
\end{center}
\smallskip

$f$ et $g$ sont les applications de $\R$ vers $\R$ définies par 

\[f(x) = ax^2 + bx + c,\]

où $a$, $b$ et $c$ sont des réels,

\[g(x) = 2x - 5.\]

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les réels $a, b$ et $c$ pour que, quel que soit $x$ élément de $\R$,

\[(f + g)(x) = f(x) + g(x) = 2x^2 - 3x - 5.\]

\item Factoriser $f(x)$.

En déduire que $(f + g)(x)$ se factorise sous la forme $(x + 1)(2x - 5)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $h$ la fonction rationnelle

\[h \left|\begin{array}{l c l}
\R &\to&\R_+\\
x &\longmapsto &h (x) = \dfrac{4x^2 - 20x + 25}{(f + g)(x)}.
\end{array}\right.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble  de définition $E$ de la fonction $h$.
		\item Factoriser $4x^2 - 20x + 25$.
		\item En déduire une simplification de $h(x)$ et calculer $h(- 3)$ et $h\left(\sqrt{3}\right)$ et $h\left(\sqrt 3\right)$.
		
Rendre rationnel le dénominateur de $h\left(\sqrt 3\right)$. 
		\item Sachant que $1,73 < \sqrt 3 < 1,74$, donner l'approximation décimale d'ordre 1 par défaut (ou valeur approchée à $0,1$ près par défaut) de $h\left(\sqrt{3}\right)$.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $k$

\[h \left|\begin{array}{l c l}
\R &\to&\R_+\\
x &\longmapsto &k(x) = \sqrt{4x^2 - 20x + 25}.
\end{array}\right.\]
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $k(1)$ et $k(4)$.
		\item Mettre $k(x)$ sous une forme ne comportant pas le symbole radical.
		\item Construire dans le plan muni d'un repère \Oij{} la représentation graphique de la fonction $k$ ($k$ est une fonction affine par morceaux).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{N. B. -} Seul le résultat de la factorisation de $(f+ g)(x)$ (voir question A), 2. (est nécessaire pour faire les questions de la partie B).

\begin{center}
\textbf{II}
\end{center}
\smallskip

Dans le plan (P) muni d'un repère orthonormé \Oij, on place les points

\[\text{A}(-1~;~2),\quad \text{B}(3~;~-1)\quad \text{et}\quad  \text{M}(1~;~-2).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les points A, 0 et M sont alignés,
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point C tel que M soit le milieu du couple (A, C).
		\item Déterminer les coordonnées du point D tel que M soit le milieu du couple (B, D).
	\end{enumerate}	
\item Démontrer que le quadruplet (A, B, C, D) est un losange.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On mène par B la parallèle $(\Delta)$ à la droite (AM). Donner une équation de la droite $(\Delta)$.
		\item Cette droite $(\Delta)$ coupe l'axe des abscisses en E. Déterminer par le calcul les coordonnées de E.
	\end{enumerate}
\item Soit $a$ l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{BAM}}$.

Calculer $\sin a$.
\end{enumerate}
\end{document}