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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Lyon}
\lfoot{\small septembre 1977}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Lyon septembre 1977 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

On considère les applications polynômes de $\R$ dans $\R$ définies par
\[F : \left\{\begin{array}{l c l}
\R&\to&\R\\
x &\longmapsto & F(x) = (2x - 1)^2 - (x + 2)^2
\end{array}\right.\\
G :  \left\{\begin{array}{l c l}
\R&\to&\R\\
x &\longmapsto & G(x) = (x - 3) (3x - 1) - (2x - 6) (x - 2)
\end{array}\right.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $F(x)$ et $G(x)$.
\item Factoriser $F(x)$ et $G(x)$
\item Calculer $F\left(\dfrac12\right)\: ;\:F\left(\sqrt 2\right) ;F\left(\dfrac12\right)\: ; ;\:G\left(\sqrt 2\right)$.
\item Donner les valeurs décimales approchées par excès et par défaut d'ordre
2 de $F\left(\sqrt 2\right)$, sachant que $1,414 < \sqrt 2 < 1,415$.
\item Soit $H$ la fonction de $\R$ dans $\R$ telle que $H(x) = \dfrac{F(x)}{G(x)}$.

Donner l'ensemble de définition de $H$, puis simplifier $H(x)$.
\item Résoudre dans $\R$ les équations suivantes : 

$H(x) = 0$,

$H(x) = 1$,

$H(x) = \dfrac53$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans Un plan muni d'un repère orthonormé \Oij, placer les points
A, B, C, définis par leurs coordonnées
\begin{center}A(3~;~2), \qquad B$(-3~;~- 3)$, \qquad C$(8~;~-4)$\end{center}
\item Calculer $\left\|\vect{\text{AB}}\right\|,\: \left\|\vect{\text{AC}}\right\|$ et $\left\|\vect{\text{BC}}\right\|$.

En déduire la nature du triangle (A, B, C).
\item Soit D le point tel que (A, C, D, B) soit un parallélogramme.

Calculer les coordonnées de ce point D.
\item Préciser la nature de ce quadrilatère (A, C, D, B).
\item Soit $(\mathcal{C})$ le cercle circonscrit au triangle (A, B, C).

Calculer les coordonnées de son centre K et calculer son rayon $R$.

Démontrer que D appartient à ce cercle $(\mathcal{C})$.
\item Soit $(\mathcal{L})$ la droite dont une équation est $ax + 6y + 3 = 0$.

Trouver le réel $a$ pour que $(\mathcal{C})$ contienne le point A. 

Construire la droite $(\mathcal{L})$ correspondant à cette valeur de a, dans le même repère.

Quelle remarque peut-on faire ?
\end{enumerate}
\end{document}