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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1991}
\rfoot{\small Lyon--Reims}
\lfoot{\small septembre 1991}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Lyon--Reims
 septembre 1991 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\emph{Les questions sont indépendantes}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À midi, nous étions $10$ personnes au restaurant ; $2$ personnes ont pris le menu \og affaires \fg, les autres ont pris le menu \og touristique\fg. La note s'est montée à $870$ F.

Le soir, nous étions $15$ personnes au même restaurant ; 6 personnes ont pris le menu \og affaires\fg, les autres ont pris le menu \og touristique\fg. La note s'est montée à \np{1260}~F{}.

Calculer le prix d'un repas \og affaires\fg et le prix d'un repas \og touristique\fg.

\item Soit $E$ l'expression définie par

\[E = (x - 3)^2 - 1.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $E$ pour $x = \sqrt 2$ et l'écrire sous la forme $a + b\sqrt 2$ avec $a$ et $b$ entiers.

En donner une valeur arrondie à $0,001$ près.
		\item Calculer $E$ pour $x = \dfrac23$ et l'écrire sous la forme $\dfrac p q$ avec $p$ 
 et $q$ entiers.
		\item Factoriser $E$.
		\item Résoudre l'équation $(x - 2)(x - 4) = 0$.
	\end{enumerate}
\item  Trois personnes empruntent respectivement $375$ F{}, $600$ F
et \np{1050} F{}.

Elles remboursent respectivement $450$~F{}, $720$~F{}, \np{1200}~F{}.

Les remboursements sont-ils proportionnels aux sommes empruntées ?

Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.1,4.6)
\psframe[fillstyle=vlines](2.8,0.2)(4.1,3.9)\rput{90}(3.45,2.05){MUR}
\psline(0,0.2)(2.8,0.2)
\psline(1.4,0.2)(2.8,3.9)
\psframe(2.8,0.2)(2.6,0.4)
\psarc(2.8,3.9){0.4}{250}{270}\rput(2.65,3.2){\small $\alpha$}
\uput[ul](2.1,2.05){4}\uput[u](2.1,0.2){1,5}
\uput[u](2.9,3.9){A} \uput[d](2.9,0.2){B} \uput[d](1.4,0.2){C}
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Une échelle de $4$ m de longueur est placée contre un mur vertical ; le sommet de l'échelle atteint le sommet du mur et le pied de l'échelle est à $1,50$ m du pied du mur.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la hauteur du mur à $0,1$ m près.
		\item Calculer, à un degré près, la mesure de l'angle $\alpha$ que fait l'échelle avec le mur.
	\end{enumerate}	
\item Sur la figure ci-dessous, on donne: AB $= 4$ ; AM $= 2$ ; BM $= 3$; AN $= 4$.
les droites (AB) et (NP) sont parallèles.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7.3,3.3)
\pspolygon(0.2,0.2)(6.9,0.2)(2.6,2.6)%NPM
\psline(1.78,1.8)(4,1.8)
\uput[dl](0.2,0.2){N} \uput[dr](6.9,0.2){P} \uput[u](2.6,2.6){M}
\uput[ul](1.78,1.8){A}\uput[ur](4,1.8){B}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Construire la figure en vraie grandeur en prenant le centimètre pour unité.
		\item Calculer $\dfrac{\text{MN}}{\text{MA}}$, MP et NP
		\item L'aire du triangle MAB est-elle le $\dfrac13$ , le $\dfrac14$ ou le $\dfrac19$ de l'aire
du triangle MNP ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item La figure ci-après représente un pavé droit en aluminium. 

Ses dimensions sont: AB $= 8$ cm, AE $= 6$ cm, AD $= 5$ cm. 

Il n'est pas demandé de refaire le dessin.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le volume du pavé.
		\item K est le point de l'arête [CG] situé à $4$~cm de C.
		
On découpe le pavé pour obtenir un prisme droit dont le triangle DCK rectangle en C, est une base et dont [BC] est une hauteur.

Calculer le volume de ce prisme.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.6,6.8)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.2,4.7)(0.2,0.2)(3,0.2)(3.76,1.25)(3,4.7)%ABCKD
\psframe(0.2,0.2)(3,4.7)%BCDA
\psline(3,0.2)(4.1,1.7)(4.1,6.2)(3,4.7)%CGFD
\psline(4.1,6.2)(1.3,6.2)(0.2,4.7)%FEA
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.3,1.7)(4.1,1.7)%BHG
\psline[linestyle=dashed](1.3,1.7)(1.3,6.2)%HE
\psline[linestyle=dashed](0.2,4.7)(1,1.25)(3.67,1.25)%AIK

\uput[l](0.2,4.7){A} \uput[dl](0.2,0.2){B} \uput[d](3,0.2){C}
\uput[r](3,4.7){D}\uput[u](1.3,6.2){E}\uput[ur](4.1,6.2){F}\uput[r](4.1,1.7){G}
\uput[ur](1.3,1.7){H}\uput[l](1.,1.25){I}\uput[dr](3.76,1.25){K}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(3.6,0.2)(4.35,1.25)\uput[r](3.95,0.725){4}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

On prend un repère orthogonal d' origine 0 situé à environ 3 cm
du bas de la feuille de papier millimétré et à environ 3 cm du bord gauche.

 On choisit comme unités 1~cm sur l'axe des abscisses et $0,5$~cm sur l'axe des ordonnée.

\bigskip

\textbf{Partie I.} Question préliminaire

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer dans ce repère les droites d'équation $y = 4x + 12$ et $y = 36 - 4x$.
\item Déterminer les coordonnées du point d'intersection de ce deux droites par lecture graphique, puis par calcul.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II.} 

Sur la figure ci-dessous le rectangle ABCD a pour longueur
AB $= 8$ cm et pour largeur AD $= 6$ cm.
\begin{itemize}
\item H, I{}, J{}, F sont alignés.
\item EBFJ et HIGD sont des carrés.
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.5,3.5)
\psframe(0.2,0.2)(4,3.1)%DCBA
\psline(2.1,0.2)(2.1,2.1)(3.1,2.1)(3.1,3.1)%GIJE
\psline[linestyle=dashed](2.1,2.1)(0.2,2.1)%IH
\psline[linestyle=dashed](3.1,2.1)(4,2.1)%JF
\uput[ul](0.2,3.1){A} \uput[ur](4,3.1){B} \uput[dr](4,0.2){C}
\uput[dl](0.2,0.2){D}\uput[u](3.1,3.1){E}\uput[r](4,2.1){F}\uput[d](2.1,0.2){G}
\uput[l](0.2,2.1){H}\uput[u](2.1,2.1){I}\uput[d](3.1,2.1){J}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On choisit AH $= 2$ cm.
Calculer les aires des rectangles ABCD, AEJH et l'aire du carré
HIGD.
\item On prend maintenant AH $= x$ ($x$ est donné en cm). Exprimer, en fonction de $x$ :
	\begin{enumerate}
		\item l'aire du rectangle AEJH.
		\item l'aire du carré HIGD.
		\item Montrer que l'aire du polygone EBCGU est $4x + 12$ et que l'aire du polygone AEJIGD est $36 - 4x$.
		\item Pour quelle valeur de $x$, ces deux aires sont-elles égales ? Indiquer le lien avec la question I.- 2.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}