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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small juin 1996}
\lfoot{\small Lyon}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Lyon juin 1996 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer et mettre le résultat sous la forme de fraction irréductible en précisant les calculs intermédiaires.

\[A = 3 - 3 : \dfrac92\,  ;\qquad B = \dfrac{10^{-8} \times 0,7 \times 10^{12}}{21 \times 10^3}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit l'expression $E = (x - 1)^2 - 4$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $E$ pour $x = 0$.
\item Calculer la valeur exacte de $E$ pour $x = \sqrt 2$.
\item Factoriser $E$.
\item Résoudre l'équation : $( x + 1)( x - 3) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Au restaurant la famille Metz a payé $224$ F pour trois menus \og Adulte \fg{} et un menu \og Enfant \fg. 

La famille Walter a payé $188$ F pour deux menus \og Adulte \fg{} et deux menus \og Enfant \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En appelant $x$ le prix d'un menu \og Adulte \fg{} et $y$ le prix d'un menu \og
Enfant \fg, écrire un système d'équations qui permet de trouver le prix de chacun des menus.
\item Résoudre le système.
\item Donner le prix du menu \og Adulte \fg{} et celui du menu \og Enfant \fg.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Activités géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle IJK tel que :

JK = 8 cm ;\quad  IJ = 4,8cm ;\quad KI = 6,4 cm.
\item Démontrer que le triangle IJK est un triangle rectangle.
\item Calculer la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{IJK}}$.

Donner la valeur arrondie au degré le plus proche.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.63\linewidth}
Dans un repère orthonormal (O, I, J) tel que OI = OJ = 1 cm, on a tracé le cercle de centre O et de rayon 2.

Le cercle coupe les axes de coordonnées en A, B, C et D.




\begin{enumerate}
\item Donner sans justifier les coordonnées des points A, B, C et D.
\item En utilisant ses diagonales pat exemple, prouver que ABCD est un carré.
\item On considère les points E(0~;~4) et F(4~;~0).
Déterminer l'équation de la droite (EF).
\item Démontrer que les droites (AD) et (EF) sont parallèles.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=1.15cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(-2.2,-2.2)(2.2,2.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-2.2,-2.2)(2.2,2.2)
%\psgrid
\pscircle(0,0){2}\psframe(0.25,0.25)
\uput[ur](0,2){A} \uput[ul](-2,0){B} \uput[dl](0,-2){C} \uput[dr](2,0){D}
\uput[d](1,0){I} \uput[l](0,1){J} \uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

La figure suivante est constituée de dix hexagones réguliers numérotés de 1 à 10.

L’hexagone 5 est noté ABCDEF.

Le point I est le milieu du segment [AB].

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(7,6.5)
%\psgrid
\def\hexa{\pspolygon(1;20)(1;80)(1;140)(1;200)(1;260)(1;320)}%\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,0)
\rput(2,5){\hexa}\rput(3.7,4.7){\hexa}\rput(5.4,4.4){\hexa}
\rput(0.87,3.67){\hexa}\rput(2.57,3.37){\hexa}\rput(4.27,3.07){\hexa}\rput(5.97,2.77){\hexa}
\rput(1.46,2.03){\hexa}\rput(3.16,1.73){\hexa}\rput(4.86,1.43){\hexa}
\uput[r](3.38,2.7){A} \uput[u](3.5,3.75){B} \uput[r](3.44,3.3){I}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](3.44,3.3)
\uput[ul](2.79,4.38){C} \uput[dl](1.8,4){D}
\uput[d](1.62,3){E} \uput[dr](2.4,2.4){F}
\rput(2,5){1}\rput(3.7,4.7){2}\rput(5.4,4.4){3}
\rput(0.9,3.7){4}\rput(2.6,3.4){5}\rput(4.3,3.1){6}\rput(6,2.8){7}
\rput(1.42,2.02){8}\rput(3.12,1.72){9}\rput(4.82,1.42){10}
\psarc(3.38,2.7){0.3}{200}{320}\rput(3.3,2.2){\footnotesize $120\degres$}
\end{pspicture}
\end{center}

Sans justification, répondre aux questions suivantes :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est l'image de l'hexagone 2 par la symétrie de centre 1 ?
\item Quelle est l'image de l'hexagone 4 par la symétrie d'axe la droite (AB) ?
\item Quelle est l'image de l'hexagone 3 par la translation de vecteur $\vect{\text{CE}}$ ? 
\item Quelle est l'image de l'hexagone 8 par la rotation de centre A et d'angle $120\degres$ ? Tourner dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Questions enchaînées }

\medskip

\textbf{Première partie : Le château d'eau}

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(9,6.3)
%\psgrid
\psellipse(1.2,4.4)(1.2,0.4)
\psellipticarc(1.2,3.3)(0.6,0.2){180}{360}
\psellipticarc(1.2,1.7)(0.6,0.2){180}{360}
\psline(0.6,1.7)(0.6,3.3)
\psline(1.8,1.7)(1.8,3.3)
\psline(0,4.4)(0.6,3.25)
\psline(2.4,4.4)(1.8,3.25)
\rput(1.2,1){figure 1}
\psellipse(5.5,5.3)(2.5,0.75)
\psellipticarc(5.5,2.3)(1,0.35){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](5.5,2.3)(1,0.35){0}{180}
\psline(3,5.2)(4.55,2.2)\psline(6.45,2.2)(8,5.2)
\psline[linestyle=dashed](4.55,2.2)(5.5,0.3)(6.45,2.2)
\psline[linewidth=0.4pt](5.5,0.3)(5.5,5.3)(8,5.3)
\psline[linewidth=0.4pt](5.5,2.3)(5.5,3.3)
\psframe(5.5,5.3)(5.7,5.1)
\psframe(5.5,2.3)(5.7,2.1)
\rput(6.6,0.4){figure 2}
\uput[r](6.45,2.2){A} \uput[r](8,5.3){B} \uput[l](5.5,2.3){I} \uput[ul](5.5,5.3){O} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Un château d'eau (figure 1) a la forme d'un cylindre surmonté d'une partie de cône représentée sur la figure 2 .

Le cône de hauteur SO a été coupé par un plan parallèle à sa base passant par le point I.

On donne SO $= 8,1$ m et SB $= 13,5$ m.

On rappelle que le volume $V$ d'un cône de base $B$ et de hauteur $h$ est
donné par la formule suivante : $V = \dfrac13 Bh$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que GB $= 10,8$ m.
		\item Calculer le volume du cône de sommet S et de base le disque de
rayon [OB]. Arrondir le résultat au m$^3$ le plus proche.
	\end{enumerate}
\item On donne SI $= 3,6$ m.
	\begin{enumerate}
		\item En remarquant que les droites (IA) et (GB) sont parallèles, calculer IA et SA.
		\item Calculer le volume du cône de sommet S et de base le disque de rayon [IA]. 
		
Arrondir le résultat au m$^3$ le plus proche.
	\end{enumerate}
\item Calculer le volume de la partie de cône représentée à la figure 2.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie : La facture d'eau}

\medskip

Pour une période de 5 mois ($150$ jours), une facture d'eau se calcule de la manière suivante : $70$ F d'abonnement et $11$ F par m$^3$ d'eau consommée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pendant cette période de 5 mois, la famille Laurent a consommé
$74$ m$^3$ d'eau.

Établir le montant de sa facture.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La famille Cherrier a payé \np{1126}~F pour cette période. Quelle quantité d'eau a-t-elle consommée ? (en m$^3$)
		\item Pour la période suivante, la famille Cherrier décide de réduire sa consommation d'eau de 10\,\%.
		
En supposant que les tarifs restent les mêmes, quel sera la pourcentage de réduction sur la nouvelle facture ?

Arrondir au dixième le plus proche.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}